一、热力学能
1、热力学能
热力学能是状态函数，使用符号$U$表示，具体包括：
- $U_k$，包括平动动能、转动动能、振动动能，是与温度有关的函数。
- $U_p$，位能。
2、总（储存）能
总能使用符号$E$表示，其计算方法为：
$$ E=U+E_k+E_p $$
$$ e=u+e_k+e_p $$
即，总能等于热力学能、宏观动能、宏观位能的和。
二、热力学第一定律
1、表述
热可以变成功，功也可以变为热；一定量的热消失时必定产生相应量的功；消耗一定量的功时，必出现与之相应量的热。其实质是能量守恒与转换定律在热现象中的应用。
热力学第一定律的基本表达式为：加入系统能量的总和-热力系统输出的能量总和=热力系统总储存能的增量。若加入系统的能量为：$\delta Q+\sum\delta m_i e_i$，输出的能量为：$\delta W_{tot}+\sum\delta m_je_j$，则内部储能增量为：
$$ \delta Q+\sum\delta m_ie_i-(\delta W_{tot}+\sum\delta m_je_j)=\mathrm{d}E $$
移项，得：
$$ \delta Q=\mathrm{d}E+\left[\sum(e_j\delta m_j)-\sum(e_i\delta m_i)\right]+\delta W_{tot} $$
两边积分，得到：
$$ Q=\Delta E+\int_{\tau_1}^{\tau_2}\left[\sum(e_j\delta m_j)-\sum(e_i\delta m_i)\right]+W_{tot} $$
2、闭口系能量方程
对于闭口系，$\delta m_i=\delta m_j=0$，并忽略宏观动能和位能，即$\Delta E=\Delta U$，则：
$$ Q=\Delta U+W $$
称之为第一定律的第一解析式。其他形式为：
$$ \delta Q=\mathrm{d}U+\delta W $$
$$ q=\Delta u+w $$
$$ \delta q=\mathrm{d}u+\delta w $$
对于可逆过程，有：
$$ \delta Q=\mathrm{d}U+p\mathrm{d}V $$
对于循环过程，有：
$$ \oint \delta Q=\oint\mathrm{d}U+\oint\delta W \Rightarrow Q_{net}=W_{net} $$
3、开口系能量方程
(1) 定义
推动功是指因工质在开口系统中流动而传递的功：
$$ pA\Delta L=pv $$
推动功只有在工质移动越过边界时才起作用。
流动功是推动功之差，是系统为维持工质流动所花费的代价：
$$ p_2v_2-p_1v_1=\Delta(pv) $$
定义焓为热力学能与推动功之和：
$$ H=U+pV $$
$$ h=u+pv $$
(2) 稳定流动能量方程
稳定流动存在以下特征：
- 各截面上参数不随时间变化。
- $\Delta E_{CV}=0,\Delta S_{CV}=0,\Delta m_{CV}=0$
对于这种系统，流入系统的能量为：
$$ Q+q_{m1}(u_1+p_1v_1+\frac{c_{f1}^2}2+gz_1) $$
其中$c_{f}$为速度，$g$为重力加速度。
流出系统的能量为：
$$ W+q_{m2}(u_2+p_2v_2+\frac{c_{f2}^2}2+gz_2) $$
根据$\Delta E_{CV}=0,q_{m1}=q_{m2}=q_m,h=u+pv$，得到：
$$ Q=(H_2-H_1)+q_m(\frac{c_{f1}^2}2-\frac{c_{f2}^2}2)+q_mg(z_2-z_1)+W_s $$
或：
$$ q=(h_2-h_1)+(\frac{c_{f1}^2}2-\frac{c_{f2}^2}2)+g(z_2-z_1)+w_s $$
称为第一定律的第二解析式，其它形式为：
$$ \delta q=\mathrm{d}h+\frac12\mathrm{d} c_{f}^2+g\mathrm{d} z+\delta w_i $$
$$ Q=\Delta H+\frac{1}{2}m\Delta c_f^2+mg\Delta z+W_i $$
$$ \delta Q=\mathrm{d}H+\frac12m\mathrm{d}c_f^2+mg\mathrm{d}z+\delta W_i $$
移项得：
$$ q-\Delta u=(p_2v_2-p_1v_1)+(\frac{c_{f1}^2}2-\frac{c_{f2}^2}2)+g(z_2-z_1)+w_s $$
等号左边为热能转变成功的部分，等号右边分别为流动功、机械能增量和轴功。定义技术功：
$$ w_t=w_s+\frac{1}{2}\Delta c_f^2+g\Delta z $$
代入上式，得到：
$$ w=q-\Delta u=w_t+p_2v_2-p_1v_1 $$
或：
$$ \delta w_t=\delta w-\mathrm{d}(pv) $$
对于可逆过程：
$$ \delta w_t=p\mathrm{d}v-\mathrm{d}(pv)=-v\mathrm{d}p $$
可逆过程技术功可以用过程线与$p$轴包围的面积表示。第一定律第二解析式的其他写法：
$$ q=\Delta h +w_t $$
$$ \delta q=\mathrm{d}h+\delta w_t $$
对于可逆过程，有：
$$ q=\Delta h -\int\mathrm{d}p $$
$$ \delta q=\mathrm{d}h-v\mathrm{d}p $$
第一定律的两解析式可以相互导出：
$$ \delta q=\mathrm{d}h-v\mathrm{d}p=\mathrm{d}(u+pv)-v\mathrm{d}p=\mathrm{d}u+p\mathrm{d}v=\mathrm{d}u+\delta w $$
但是只有在开口系中能量方程才用焓。
(3) 伯努利方程
对于管内流动的流体，流入为：
$$ u_1+\frac{1}{2}c_{f1}^2+gz_1+p_1v_1 $$
流出为：
$$ u_2+\frac{1}{2}c_{f2}^2+gz_2+p_2v_2 $$
两者相减，若内增为$0$，且不考虑温度变化和密度变化，则得到伯努利方程：
$$ z_1+\frac{p_1}{\gamma}+\frac{c_{f_1}^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\gamma}+\frac{c_{f_2}^2}{2g} $$