一、基尔霍夫定律
1、相关名词
节点：三个或三个以上电路元件的连接点称为节点。
支路：连接两个结点之间的电路称为支路。
回路：电路中任一闭合路径称为回路。
网孔：电路中最简单的单孔回路内部没有支路的回路。
2、基尔霍夫电流定律（KCL）
(1) 基本运用
在任何电路中，离开（或流入）任何节点的所有支路电流的代数和在任何时刻都等于零，其本质为电流的连续型原理。数学表达式为：
$$ \sum i=0\Rightarrow \sum i_{流出}=\sum i_{流入} $$
在上图中，在节点$b$处使用基尔霍夫电流定律可得：
$$ I_1+I_2=I_4 $$
(2) 扩展应用
在上图中，可以将红色虚线圆圈内的部分看作是一个广义节点，根据基尔霍夫定律，可以得到：
$$ I_1+I_S=I_4+I_5 $$
3、基尔霍夫电压定律（KVL）
在任何电路中，形成任何一个回路的所有支路沿同一循行方向电压的代数和在任何时刻都等于零。数学表达式为：
$$ \sum u=0 $$
对上图回路2使用基尔霍夫电压定律可得：
$$ U_{ab}+U_{bc}-U_{ac}=0 $$
元件电压参考方向与回路绕行方向一致时取正号, 相反时取负号。利用欧姆定律对KVL形式进行改写：
$$ R_2I_1-U_{S1}+U_{S2}-R_3I_2-R_1I_3=0 $$
4、支路电流法
支路电流法是电路最基本的分析方法之一。它以支路电流为求解对象，应用基尔霍夫定律分别对节点和回路列出所需要的方程式，然后计算出各支路电流。支路电流求出后，支路电压和电路功率就很容易得到。
[!TIP]
支路电流法解题步骤如下：
- 标出各个支路电流方向。
- 列出节点的KCL电流方程式，若节点数为$n$，则可建立$n-1$个独立方程。
- 列出回路的KVL电压方程式，若回路有$m$条，则可建立$l=m-(n-1)$个独立方程。
- 联立方程组求解。
若电路中含有电流源时，因为含有电流源的支路电流已知，且电流源两端电压不可直接求得，所以可以少列一个KVL回路方程。若电路中存在受控源，需要注意受控电流源两端电压无法直接列写，受控电压源流过的电流也是待求解的未知数之一。
二、叠加定理和等效源定理
应用叠加定理与等效源定理，均要求电路必须是线性的。
1、叠加定理
叠加定理的含义是：对于一个线性电路来说，由几个独立电源共同作用所产生的某一支路电流或电压，等于各个独立电源单独作用时分别在该支路所产生的电流或电压的代数和。当某一个独立电源单独作用时，其余的独立电源应除去。电压源作短路处理，电压为零；电流源作开路处理，电流为零。
如下图所示，将一个同时含有电流源和电压源的电路分解为了两个简单电路。
对于电压源电路，有：
$$ I_{11}=I_{21}=\frac{U_S}{R_1+R_2} $$
对于电流源电路，有：
$$ I_{12}=-\frac{R_2I_S}{R_1+R_2} $$
$$ I_{22}=\frac{R_1I_S}{R_1+R_2} $$
利用叠加定理，得到：
$$ I_1=I_{11}+I_{12}=\frac{U_S-R_2I_S}{R_1+R_2} $$
$$ I_2=I_{21}+I_{22}=\frac{U_S+R_1I_S}{R_1+R_2} $$
使用叠加定理时，应当注意：
- 不能叠加功率。
- 受控源不是独立电源，不能单独作用。
2、等效源定理
等效源定理包括戴维南定理（对应电压源）和诺顿定理（对应电流源），是计算复杂线性网络的一种有力工具。
(1) 二端网络
一般地说，凡是具有两个接线端的部分电路，就称为二端网络。如下图，$N$的内部为一个黑箱，在一定条件下不关注内部具体情况：
对于无源二端网络，可以求得其等效电阻：
$$ R=R_1+\frac{R_2R_3}{R_2+R_3} $$
对于有源二端网络（内部含有电源）需要使用等效电源定理。
(2) 戴维南定理
对外电路来说，一个线性有源二端网络可用一个电压源和一个电阻的串联的电路来等效，该电压源的电压等于此有源二端网络的开路电压$U_{OC}$，串联电阻等于此有源二端网络除去独立电源后在其端口处的等效电阻$R_0$。这个电压源和电阻串联的等效电路称为戴维南等效电路。
(3) 诺顿定理
对外电路来说，一个线性有源二端网络可用一个电流源和一个电阻的并联的电路来等效，该电流源的电流等于此有源二端网络的短路电流$I_{SC}$, 并联电阻等于此有源二端网络除去独立电源后在其端口处的等效电阻$R_0$。
(4) 等效电源定理的使用
使用等效电源定理时应当注意：
- 被等效的二端网络必须是线性的。
- 二端网络与外电路之间没有耦合关系
[!TIP]
求解等效电阻的方法：
- 利用电阻串并联方法化简。（需要除源）
- 外施电压法：$R_0=\frac{U}{I}$。（需要除源）
- 开短路法：$R_0=\frac{U_{OC}}{I_{SC}}$。（不需要除源）
当网络中含有受控源时，除独立源后，受控源仍保留在网络中，这时不可以用电阻串并联方法简化的计算等效电阻，但是可以使用另外两种方法。
三、正弦交流电路
1、概述
若一个电流(电压)是时间的周期性函数，且在一个周期内平均值等于零，则这个电流（电压）称为交流电流（电压）。交流电流（电压）的大小方向时刻都在变化在交流电路中，正弦量的参考方向，是指正半周时的方向。若一个电路中，各处的电流、电压均按正弦规律变化则该电路称为正弦交流电路。
随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦交流电，可以表示为：
$$ u=U_m\sin(\omega t+\varphi_{u}) $$
$$ i=I_m\sin(\omega t+\varphi_{i}) $$
$U_m,I_m$为最大值，$\omega$为角频率，$\varphi_u,\varphi_i$为初相位，三者为正弦量的三要素。其他名词解释与物理中的定义相同。
设$\varphi=\varphi_u-\varphi_i$为相位差，相位差是反映两个同频率正弦量相互关系的重要物理量。存在以下特殊关系：
- 当 $\varphi=\varphi_u-\varphi_i=0$ 时，称 $u$ 与 $i$ 同相。
- 当 $\varphi=\varphi_u-\varphi_i>0$ 时，称 $u$ 超前于 $i$ 或者说 $i$ 滞后于 $u$。
- 当 $\varphi=180^\circ$ 时，称 $u$ 与 $i$ 反相。
- 若 $\varphi=90^\circ$，称 $u$ 与 $i$ 相位正交。
瞬时值和最大值都是表征正弦量大小的，但使用较少，通常采用有效值来表示正弦量的大小。有效值是从电流热效应的角度规定的。设交流电流 $i(t)$ 和直流电流 $I$ 分别通过阻值相同的电阻 $R$，在一个周期 $T$ 时间内产生的热量相等，则有热量相等的关系：
$$ I^2 R T=\int_0^T i^2(t)\,R\,\mathrm{d}t . $$
两边除以 $R$，得到：
$$ I^2 T=\int_0^T i^2(t)\,\mathrm{d}t . $$
因此定义交流电流的有效值（均方根值）为
$$ I=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T i^2(t)\,\mathrm{d}t } . $$
对正弦电流 $i(t)=\hat{\imath}\sin(\omega t+\varphi)$，代入上式并作恒等变形：
$$ \begin{aligned} \frac{1}{T}\int_0^T i^2(t)\,\mathrm{d}t &=\frac{I_m^2}{T}\int_0^T \sin^2(\omega t+\varphi)\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{I_m^2}{T}\int_0^T \frac{1-\cos(2\omega t+2\varphi)}{2}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{I_m^2}{2}-\frac{I_m^2}{2T}\int_0^T \cos(2\omega t+2\varphi)\,\mathrm{d}t \end{aligned} $$
由于 $\cos(2\omega t+2\varphi)$ 在区间 $[0,T]$ 上关于其周期积分为零（$T$ 为原信号周期，$2\omega$ 对应的周期为 $T/2$，在 $T$ 上积分为整数个周期），所以该余项为零，得：
$$ \frac{1}{T}\int_0^T i^2(t)\,\mathrm{d}t=\frac{I_m^2}{2} $$
于是正弦电流的有效值为（即方均根值）：
$$ I=\sqrt{\frac{I_m^2}{2}}=\frac{I_m}{\sqrt{2}} $$
对正弦电压同理，若 $u(t)=\hat{u}\sin(\omega t+\varphi)$，则其有效值为：
$$ U=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T u^2(t)\,\mathrm{d}t }=\frac{U_m}{\sqrt{2}} $$
2、正弦量的相量表示法
使用三角函数表示正弦量时运算繁琐，可改使用复数表示，复数的计算参考：复变函数)。
把这种仅反映正弦量大小和初相位的有向线段称为相量，其图形为相量图，符号为：$\dot{U}_m,\dot{I}_m$，在实际应用中，正弦量的大小一般采用有效值表示，其表示符号为$\dot{U},\dot{I}$，满足：
$$ \dot{I}=I e^{j\varphi}=I\angle\varphi $$
$$ \dot{U}=Ue^{j\varphi}=U\angle\varphi $$
其中$j=\sqrt{-1}$为虚数单位。
3、电阻、电感、电容元件上电压与电流关系的相量形式
(1) 电阻
电流相量为：
$$ \dot{I}=I\angle\varphi_i $$
根据欧姆定律，电阻两端的电压相量为：
$$ \dot{U}=R\dot{I} $$
$u,i$为同频率同相位正弦量。其瞬时值、有效值、相量均服从欧姆定律。
(2) 电感
设电感元件上流过的电流为 $i=\sqrt{2}I\sin(\omega t+\varphi_i)$，则电感两端的电压为：
$$ \begin{aligned} u &= L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = L\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[\sqrt{2}I\sin(\omega t+\varphi_i)\big] \\[6pt] &= L\sqrt{2}I\cdot\omega\cos(\omega t+\varphi_i) \\[6pt] &= L\sqrt{2}I\cdot\omega\sin\big(\omega t+\varphi_i+90^\circ\big) \\[6pt] &= \sqrt{2}U\sin(\omega t+\varphi_u) \end{aligned} $$
式中：
$$ U=\omega L I,\qquad \varphi_u=\varphi_i+90^\circ, $$
因此 $u$ 与 $i$ 是同频率的正弦量（电压超前电流 $90^\circ$）。电流相量与电压相量表示：
$$ \dot{I}=I\angle\varphi_i $$
$$ \dot{U}=U\angle\varphi_u =\omega L I\angle(\varphi_i+90^\circ) =\omega L\angle 90^\circ\; I\angle\varphi_i = j\omega L\dot{I} = jX_L\dot{I} $$
其中感抗：
$$ X_L=\omega L = 2\pi f L $$
当电流的频率为零即直流时，感抗为零，故电感在直流稳态时相当于短路。
(3) 电容
设电容元件上流过的电流为 $i=\sqrt{2}I\sin(\omega t+\varphi_i)$，则电容两端的电压为：
$$ \begin{aligned} u &= \frac{1}{C}\int i\,\mathrm{d}t = \frac{1}{C}\int \sqrt{2}I\sin(\omega t+\varphi_i)\,\mathrm{d}t \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2}I}{C}\left(-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t+\varphi_i)\right) \\[6pt] &= -\frac{\sqrt{2}I}{\omega C}\cos(\omega t+\varphi_i) \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2}I}{\omega C}\sin\big(\omega t+\varphi_i-90^\circ\big) \\[6pt] &= \sqrt{2}U\sin(\omega t+\varphi_u) \end{aligned} $$
式中：
$$ U=\frac{I}{\omega C},\qquad \varphi_u=\varphi_i-90^\circ, $$
因此在频率为 $\omega$ 的正弦稳态下，电压 $u$ 与电流 $i$ 同频，电压相对电流滞后 $90^\circ$。用相量表示：
$$ \dot{I}=I\angle\varphi_i $$
$$ \dot{U}=U\angle\varphi_u = \frac{I}{\omega C}\angle(\varphi_i-90^\circ) = \frac{1}{j\omega C}\dot{I}=-jX_c\dot{I} $$
于是电容的容抗$X_C$为：
$$ X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi f C} $$
[!NOTE]
- 在纯电阻电路中，电压有效值一定时，频率变化，通过电阻原件的电流不变。
- 在电感电路中，电压有效值一定时，频率愈大，则通过电感原件的电流愈小。
- 在电容电路中，电压有效值一定时，频率愈大，则通过电容原件的电流愈大。
4、简单正弦交流电路的计算
(1) 基尔霍夫定律的相量形式
对于KCL表达式$\sum i =0$，设$i$为同频率正弦量，可以推导：
$$ \sum i =\sum I_{m}[\sqrt{2}\dot{I}e^{j\omega t}] =I_{m}\sum[\sqrt{2}\dot{I}e^{j\omega t}] =I_{m}[\sqrt{2}e^{j\omega t}\sum\dot{I}] =0 $$
故KCL的相量形式为：
$$ \sum \dot{I}=0 $$
同理可得KVL的相量形式：
$$ \sum \dot{U}=0 $$
(2) 阻抗（复阻抗）
RLC串联电路中电压和电流之间的的关系右图，外加电压$u$，电路中的电流为$i$，$R、L、C$元件上的电压分别为$u_R、u_L、u_C$。
根据KVL可得：
$$ u = u_R + u_L + u_C $$
其相量形式为
$$ \dot{U} = \dot{U}_R + \dot{U}_L + \dot{U}_C $$
$$ \begin{aligned} \dot{U} &= R\dot{I} + \mathbf{j} X_L \dot{I} - \mathbf{j} X_C \dot{I}\\ &= \left[ R + \mathbf{j}(X_L - X_C) \right] \dot{I}\\ &= (R + \mathbf{j} X)\dot{I} = Z\dot{I} \end{aligned} $$
式中$Z=R+jX$为复阻抗，单位为欧姆，$X$为电抗。复阻抗的模$|Z|$为阻抗：
$$ |Z|=\sqrt{R^2+X^2}=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2} $$
其幅角$\varphi$为阻抗角，有：
$$ Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=|Z|\angle\varphi $$
即：电压与电流的有效值之比等于阻抗，电压与电流之间的相位差等于阻抗角。
当$X>0,\varphi>0$，表示$i$滞后于$u$，电路为电感性；当$X<0,\varphi<0$，表示$i$超前于$u$，电路为电容性；当$X=0,\varphi=0$，表示$i$与$u$同相位，电路为电阻性，处于谐振状态。
(3) 阻抗的串联与并联
对于串联电路，有：
$$ \dot{U} = \dot{U}_1 + \dot{U}_2 + \cdots + \dot{U}_n = \sum_{i=1}^n \dot{U}_i = \sum_{i=1}^n Z_i \dot{I} = \dot{I} \sum_{i=1}^n Z_i = \dot{I}Z $$
$$ Z = \sum_{i=1}^n Z_i = \sum_{i=1}^n R_i + j \sum_{i=1}^n X_i $$
对于并联电路，有：
$$ \dot{I} = \dot{I}_1 + \dot{I}_2 + \cdots + \dot{I}_n = \dot{U} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Z_k} = \frac{\dot{U}}{Z} $$
其中：
$$ \frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \cdots + \frac{1}{Z_{n-1}} + \frac{1}{Z_n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Z_k} $$
5、交流电路的功率
(1) 瞬时功率
电路在某一瞬间吸收或放出的功率，称为瞬时功率，设无源二端网络的电流和电压分别为：
$$ i=\sqrt{2} I\sin \omega t\qquad u=\sqrt{2} U \sin (\omega t+\varphi) $$
则电路的瞬时输入功率为：
$$ \begin{aligned} p&=ui\\&=2UI\sin\omega t\sin(\omega t +\varphi)\\&=UI\cos\varphi(1-\cos 2\omega t)+UI\sin\omega\sin 2\omega t \end{aligned} $$
当$\varphi=0$，电路性质表现为电阻性，$p=UI(1-\cos2\omega t)$；当$\varphi=90\degree$，电路性质表现为电感性，$p=UI\sin 2\omega t$；当$\varphi=-90\degree$，电路性质表现为电容性，$p=-UI\sin2\omega t$。电容性电路和电感性电路的功率随时间积分在一个周期内为$0$。
(2) 有功功率、无功功率与视在功率
电路在电流变化一个周期内负载吸收功率的平均值称为平均功率，对于正弦电路，其平均功率：
$$ P = \frac{1}{T} \int_0^{T} p \, \mathrm{d}t = UI\cos\varphi = UI\lambda $$
平均功率也叫有功功率，公式中$\lambda=\cos\varphi$为功率因数，$\varphi$为功率因数角。
电路中的平均功率为电阻所消耗的功率，$UI\cos\varphi$可以理解为$U(I\cos\varphi)$或者$I(U\cos\varphi)$。
在第一部分中推导出的公式：
$$ p=UI\cos\varphi(1-\cos 2\omega t)+UI\sin\omega\sin 2\omega t $$
公式中第一项反映电阻所消耗的瞬时功率，第二项反映储能元件与电源的能量交换。设：
$$ UI\cos\varphi(1-\cos 2\omega t)=P(1-\cos 2\omega t) $$
$$ UI\sin\omega\sin 2\omega t=Q\sin 2\omega t $$
即：
$$ Q=UI\sin\varphi $$
表示无功功率。设$S=UI$表示视在功率，那么$P,Q,S$的关系为直角三角形，与阻抗三角形相似：
$$ S^2=P^2+Q^2 $$
(3) 功率因数的提高
电源设备的容量为$S=UI$，负载消耗的有功功率为$P=S\lambda$，因此要提高电源设备的利用率，就要求提高功率因数。
提高功率因数的原则，是在不改变负载工作条件下，减小电压与线电流间的相位差，增加电容元件（其无功功率是负的，可与电感正的无功功率相互补偿），因工业是设备多为感性，所以多使用并联。
6、RLC电路中的谐振
(1) 串联谐振
在RLC电路中，当$X_L=X_C$时，电路中的感抗和容抗相互抵消，电流与电压同相，电路呈电阻性，这种工作状态称为串联谐振。设串联谐振时的频率为$f_0$：
$$ Z=R+j(X_L-X_C)=R $$
则：
$$ 2\pi f_0L=0\frac{1}{2\pi f_0 C} $$
解得：
$$ f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$
调整$L,C,f$中的任何一个量，都能产生串联谐振，电路图与相量图如图所示：
串联谐振时的感抗或容抗称为谐振电路的特性阻抗，用$\rho$表示，即：
$$ \rho=\omega_0 L=\frac{1}{\omega_0 C}=\sqrt{\frac{L}{C}} $$
定义品质因数$Q$：
$$ Q=\frac{U_L}{U}=\frac{U_C}{U}=\frac{\rho}{R} $$
串联谐振时电路存在如下特点：
- 复阻抗的模$|Z|$最小，电压一定时，电流的有效值$I_0=\frac{U}{R}$最大，称为串联谐振电流。
- $\dot{U}_L=-\dot{U}_C$，两者相互抵消，故串联谐振又称为电压谐振。
在串联谐振情况下，计算电流，并作出$I-f$图像：
$$ \begin{aligned} I &= \frac{U}{|Z|} = \frac{U}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)^2}} \\ &= \frac{U}{\sqrt{R^2 + \left(\dfrac{\omega_0 \omega L}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega_0 \omega C}\right)^2}} \\ &= \frac{U}{R\sqrt{1 + \left(\dfrac{\rho}{R}\right)^2\left(\dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega}\right)^2}} = \frac{I_0}{\sqrt{1 + Q^2 \left(\dfrac{f}{f_0} - \dfrac{f_0}{f}\right)^2}} \end{aligned} $$
当$f=f_{L}$或$f=f_H$时，$I=\frac{I_0}{\sqrt{2}}$，设$f_{BW}=f_H-f_L=\frac{f_0}{Q}$，$f_{BW}$为通频带，设$\frac{f_{BW}}{f_0}=\frac{1}{Q}$为相对同频带，可见品质因数越高，通频带越窄，电路的选择性越好。
(2) 并联谐振
电感线圈与电容器并联，当端电压$U$与电流$I$同相位时，电路并联谐振。
$$ \begin{aligned} \dot{I} &= \dot{I}_{RL} + \dot{I}_C \\&= \frac{\dot{U}}{R + j\omega L} + j \omega C \dot{U} \\ &= \left[ \frac{R}{R^2 + (2\pi f L)^2} - j \left( \frac{{2\pi f L}}{R^2 + (2\pi f L)^2} - {2\pi f C} \right) \right] \dot{U} \end{aligned} $$
设并联谐振频率为$f_0$，则有：
$$ {\frac{2\pi f_0 L}{R^2 + (2\pi f_0 L)^2} - 2\pi f_0 C = 0} \qquad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \sqrt{{1 - \frac{C}{L}R^2}} $$
当$R\ll 2\pi f_0 L$时，$f_0\approx\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$。
电路图与相量图如下：
并联谐振时电路存在以下特点：
等效阻抗较大，且具有纯电阻性质：
$$ Z_0 = R_0 = \frac{R^2 + (2\pi f_0 L)^2}{R} = \frac{L}{RC} $$
$$ \frac{1}{Z} = \frac{R}{R^2 + (2\pi f L)^2} - j \left( \frac{2\pi f L}{R^2 + (2\pi f L)^2} - 2\pi f C \right) $$
- 电路中的总电流很小。
四、三相交流电路
1、三相交流电源
三相电源由三个幅值相等、频率相同、相位互差$120\degree$的单相交流电源构成。三相电路是指由三相电源构成的电路。
通常，电厂发出的电力是经过输/配电系统到达用户。
对用户而言，三相电源来自变压器二次侧的三个绕组：
图中$U_1, V_1, W_1$为三个绕组的始端，$U_2, V_2, W_2$为三个绕组的末端，三个绕组末端连接在一起，便成星形联结。该点称为中性点或零点，引出线为中性线N，通常接地，故称零线。三个绕组始端引出线称为相线或端线，又称火线，分别用字母$L_1, L_2, L_3$表示。引出中性线的电源称为三相四线制电源，不引出中性线的供电方式，称为三相三线制。三相四线制电源中，各相线与中性线之间的电压，称为相电压，相线与相线之间的电压称为线电压。
三相电源相电压瞬时表达式为：
$$ \begin{equation} \begin{cases} u_U = \sqrt{2} U_P \sin \omega t \\ u_V = \sqrt{2} U_P \sin (\omega t - 120\degree) \\ u_W = \sqrt{2} U_P \sin (\omega t - 240\degree) \end{cases} \end{equation} $$
$U_P$为相电压的有效值。相序是指每相电压出现最大值的次序。根据三相电源的$u-\omega t$图像，可知其相序为$U\rightarrow V\rightarrow W$。当三相电压的幅值相同，且各相之间的相位差均为$120\degree$时，称为对称三相电压。
线电压和相电压之间的关系为：
$$ \begin{aligned} &\dot{U}_{UV} = \dot{U}_U - \dot{U}_V \\ &\dot{U}_{VW} = \dot{U}_V - \dot{U}_W \\ &\dot{U}_{WU} = \dot{U}_W - \dot{U}_U \end{aligned} $$
其相量图如图所示，根据几何关系得：
$$ \begin{aligned} &\dot{U}_{UV} = \sqrt{3} U_P \angle 30\degree \\ &\dot{U}_{VW} = \sqrt{3} U_P \angle {-90\degree }\\ &\dot{U}_{WU} = \sqrt{3} U_P \angle {-210\degree} \end{aligned} $$
三个线电压有效值均为相电压的$\sqrt{3}$倍，即，相位超前于对应相电压$30\degree$，线电压也是对称的。
2、三相电路电压与电流的计算
对称三相电（压）源与三相负载组合构成三相电路。可以选择星形（Y形）或者三角形连接。如果是对称负载，则计算一相，其余根据对称关系直接写出；如果是不对称负载，则根据连接关系逐相计算。
(1) 负载星形联结
各相负载电流为：
$$ \dot{I}_U = \frac{\dot{U}_u}{Z_u} = \frac{\dot{U}_U}{Z_u} $$
$$ \dot{I}_V = \frac{\dot{U}_v}{Z_v} = \frac{\dot{U}_V}{Z_v} $$
$$ \dot{I}_W = \frac{\dot{U}_w}{Z_w} = \frac{\dot{U}_W}{Z_w} $$
中性线电流为：
$$ \dot{I}_N=-(\dot{I}_U+\dot{I}_V+\dot{I}_W) $$
对于负载对称的情况，满足：$Z_u=Z_v=Z_w=Z$，从而有：
$$ I_U=I_V=I_W $$
即各项电流大小相等，相位差互差$120\degree$，故中性线电流为$0$，说明去掉中性线并不影响电路的运行，如三相异步电动机不接中线。
对于负载不对称的情况，如果存在中线，负载相电压等于电源相电压，逐一计算各相电流即可；如果中性线断开，负载中性点$N'$与电源中性点$N$电位不相等，各负载电压不再等于电源的相电压，需要根据KCL和KVL列方程组计算：
$$ \dot{I}_U + \dot{I}_V + \dot{I}_W = 0 $$
$$ \dot{U}_U = \dot{U}_u + \dot{U}_{N'N} = Z_u \dot{I}_U + \dot{U}_{N'N} $$
$$ \dot{U}_V = \dot{U}_v + \dot{U}_{N'N} = Z_v \dot{I}_V + \dot{U}_{N'N} $$
$$ \dot{U}_W = \dot{U}_w + \dot{U}_{N'N} = Z_w \dot{I}_W + \dot{U}_{N'N} $$
解得：
$$ \dot{U}_{N'N} = \frac{\dfrac{\dot{U}_U}{Z_u} + \dfrac{\dot{U}_V}{Z_v} + \dfrac{\dot{U}_W}{Z_w}}{\dfrac{1}{Z_u} + \dfrac{1}{Z_v} + \dfrac{1}{Z_w}} $$
从而进一步计算各相负载电压和电流。在中性线断开时各电压的相量图如图所示：
注意不管中线是否断开，负载线电压总是不变的。
(2) 负载三角形联结
在负载三角形联结中，负载相电压等于电源线电压，即$U_P=U_L$，各相电流为：
$$ \dot{I}_{uv} = \frac{\dot{U}_{uv}}{Z_{uv}} = \frac{\dot{U}_{UV}}{Z_{uv}} $$
$$ \dot{I}_{vw} = \frac{\dot{U}_{vw}}{Z_{vw}} = \frac{\dot{U}_{VW}}{Z_{vw}} $$
$$ \dot{I}_{wu} = \frac{\dot{U}_{wu}}{Z_{wu}} = \frac{\dot{U}_{WU}}{Z_{wu}} $$
各线电流为：
$$ \dot{I}_U = \dot{I}_{uv} - \dot{I}_{wu} $$
$$ \dot{I}_V = \dot{I}_{vw} - \dot{I}_{uv} $$
$$ \dot{I}_W = \dot{I}_{wu} - \dot{I}_{vw} $$
若负载对称，则相电流及线电流对称，相量图如图所示：
相电流的关系式为：
$$ \dot{I}_U = \sqrt{3} \dot{I}_{uv} \angle {-30\degree} $$
$$ \dot{I}_V = \sqrt{3} \dot{I}_{vw} \angle {-30\degree} $$
$$ \dot{I}_W = \sqrt{3} \dot{I}_{wu} \angle {-30\degree} $$
3、三相电路的功率
三相电路的有功功率为各相有功功率之和：
$$ P = P_u + P_v + P_w = U_u I_u \cos\varphi_u + U_v I_v \cos\varphi_v + U_w I_w \cos\varphi_w $$
或：
$$ P = P_{uv} + P_{vw} + P_{wu} = U_{uv} I_{uv} \cos\varphi_{uv} + U_{vw} I_{vw} \cos\varphi_{vw} + U_{wu} I_{wu} \cos\varphi_{wu} $$
当三相对称，每相功率相同，均为 $P_p$，相电压为 $U_p$，相电流为 $I_p$，相电压与相电流的相位差为 $\varphi$，则三相功率为
$$ P = 3P_p = 3U_p I_p \cos\varphi $$
通常，三相功率用线电压$U_L$和线电流$I_L$表示。对于星形负载，有 $I_p = I_L, U_p = U_L / \sqrt{3}$；对于三角形负载，有 $U_p = U_L, I_p = I_L / \sqrt{3}$；故都有：
$$ P = 3U_pI_p\cos\varphi = \sqrt{3} U_L I_L \cos\varphi $$
注意式子中的$\varphi$是相电压与相电流的相位差，而不是线电压与线电流的相位差，相电压与相电流的相位差只取决于负载的性质（阻抗角），而与负载的连接方式无关。
我们还可以得到对称三相负载的无功功率：
$$ Q = 3U_p I_p \sin\varphi = \sqrt{3} U_L I_L \sin\varphi $$
以及视在功率：
$$ S = \sqrt{P^2 + Q^2} = 3U_p I_p = \sqrt{3} U_L I_L $$
[!NOTE]
在同一电源下，同一三相负载作三角形连接时的总有功率和线电流是星形连接时的三倍，应当注意接线方法。
五、一阶电路的瞬态分析
1、电路的暂态和稳态
稳态（稳定状态）：电路中所有响应恒定不变，或按周期规律变化的工作状态。
暂态（过渡过程）：在某个激励下，电路由一个稳态转变到另一个稳态的过程。
在外因（存在外部激励，如开关通断、电源切换、元件参数变化等）或者内因（电路中含电容/电感等储能元件，能量只能连续变化而不能跃变）的影响，会使得电路出现过渡过程。
[!NOTE]
只含有一个储能元件的电路，我们称之为一阶电路。
2、换路定律和初值计算
电路与电源的接通、断开，或电路参数、结构的改变通称为换路。设$t=0$时发生换路, $t=0-$代表换路前状态，$t=0+$代表换路后状态。
下面给出换路定理：一般情况下，换路前后，在电容电路中，电容储存电场能量，电容电流为有限值，电容上的电压不能突变；在电感电容中，电感存储磁场能量，电感电压为有限值，电感电流不能突变。即：
$$ u_C(0^+)=u_C(0^-) $$
$$ i_L(0^+)=i_L(0^-) $$
定义电路初值为电路中所求变量（电压或电流）及其$(n-1)$阶导数在$t=0^+$的值。独立初值是指可等效为独立电源的初值，即$u_C (0^+) $和$i_L(0^+)$；非独立初值是指可通过独立初值及电路结构求出的其他初值。
3、RC电路的暂态分析
设图示RC电路在$t=0$时开关闭合，其回路电压方程为：
$$ Ri+u_C=U_S $$
由于$i=C\frac{\mathrm{d}U_C}{\mathrm{d}t}$，代入上式可以得到一阶非齐次微分方程：
$$ RC\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}+u_C=U_S $$
取电路环路后的稳态分量（即$t\to\infty$）作为微分方程特解，即：
$$ u_C(t)|_{t\to\infty}=U_S $$
然后设$\tau=RC$为时间常数，得到微分方程的解为：
$$ u_C(t)=u_C(\infty)+A e^{-\frac t \tau} $$
代入初始条件，解出系数$A$，得到一阶RC电路暂态过程的通式：
$$ u_C(t)=u_C(\infty)+[u_C(0^+)-u_C(\infty)]e^{-\frac t \tau},t>0 $$
重新组合，得到解的另一种表达形式：
$$ u_C(t)=u_C(\infty)(1-e^{-\frac{t}{\tau}})+u_C(0+)e^{-\frac t \tau},t>0 $$
上式中第一项为零状态响应，表示初始时刻无储能，由初始时刻施加于电路的外部输入（激励）所产生的响应；第二项为零输入响应，表示无外部输入作用，由初始时刻的储能所产生的响应。两者和为全响应。
在一阶RC电路中，支路电压或电流均为一阶微分方程的解，因此只要求出初始值、稳态值和时间常数，即可写出其随时间变化的表达式。
$$ f(t)=f(\infty)+[f(0^+)-f(\infty)]e^{-\frac t\tau},t>0 $$
其中包含三个要素：初始值$f(0^+)$、稳态值$f(\infty)$、时间常数$\tau$。初始值由换路定理得到，稳态值根据换路后电路达到稳态时分析得到。时间常数$\tau=RC$。
利用微积分所学，瞬变过程若一直以初始速度进行，则经过一个$\tau$后，瞬变过程结束。时间常数直接影响暂态过程的完成时间当$\tau$增大时，过渡过程放缓，响应时间延长。工程上一般认为经过$(3-5)\tau$，瞬变过程基本结束。
4、RL电路的瞬态分析
相同地分析方法，可以得到一阶非齐次微分方程：
$$ \frac{L}{R}=\frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}+i_L=I_S $$
解得：
$$ i_(t)=i_L(\infty)+[i_L(0^+)-i_L(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}},t>0 $$
三要素中的时间常数$\tau=\frac{L}{R}$。