一、实验测量与误差分布
1、测量的基本概念
- 直接测量：被测量可以直接通过仪器读数获得，无需通过计算转换。
- 间接测量：被测量需通过已知函数关系由直接测量量计算得到。
- 测量的四要素：被测对象、测量程序、测量准确度、计量单位。
2、有效数字与有效位数
- 有效数字：可靠数字（仪器直读）+存疑数字（估读所得），反映测量精度。
- 有效位数：有效数字的总位数。
例子：钢板尺测量 $7.35\,\mathrm{cm}$，其中$7.3$为可靠数字，$0.05$为存疑数字，共$3$位有效数字。
3、误差的基本类型与表达
(1)误差的定义
$$ \text{误差} = \text{测量值} - \text{真值} $$
(2)误差的分类
系统误差（装置误差）：可预知，不可避免。系统误差包括：
- 已定系统误差：在同等条件下，对同一个待测量进行多次测量，测量值和真值的偏离总是相同的那部分误差分量，必须修正。
- 未定系统误差：已知存在于某个范围，而不知具体数值的系统误差
- 随机误差（偶然误差）：无规律涨落，服从统计分布（常见为正态分布）。
- 粗大误差（过失误差）：操作失误，可避免。
(3)误差的表示
绝对误差：
$$ \Delta x = x_{\text{测量}} - x_{\text{真值}} $$
相对误差（百分误差）：
$$ E = \frac{|x_{\text{测量}} - x_{\text{真值}}|}{x_{\text{真值}}} \times 100\% $$
标准误差（标准差）：
$$ S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_{\text{测量}} - x_{\text{真值}})^2} $$
4、仪器允差（示值误差）举例
系统允差的计算公式为：
$$ \Delta_\text{仪} = \text{量程} × \text{级别}\% $$
| 仪器名称 | 量程 | 分度值 | 允差（示值误差） |
|---|---|---|---|
| 钢板尺 | $1000\,\mathrm{mm}$ | $1\,\mathrm{mm}$ | $\pm 0.20\,\mathrm{mm}$ |
| 钢板尺 | $500\,\mathrm{mm}$ | $1\,\mathrm{mm}$ | $\pm 0.15\,\mathrm{mm}$ |
| 钢板尺 | $150\,\mathrm{mm}$ | $1\,\mathrm{mm}$ | $\pm 0.10\,\mathrm{mm}$ |
| 游标卡尺 | $125\,\mathrm{mm}$ | $0.02\,\mathrm{mm}$ | $\pm 0.02\,\mathrm{mm}$ |
| 螺旋测微器\,(1级) | $25\,\mathrm{mm}$ | $0.01\,\mathrm{mm}$ | $\pm 0.004\,\mathrm{mm}$ |
| 电表（0.5级） | — | — | $0.5\% \times \text{量程}$ |
| 机械式停表 | — | $0.1\,\mathrm{s}$ | $0.1\,\mathrm{s}$ |
| 数字毫秒表 | — | $0.1\,\mathrm{s}$ | $0.1\,\mathrm{s}$ |
| 物理天平 | $500\,\mathrm{g}$ | $0.05\,\mathrm{g}$ | $0.08\,\mathrm{g}$（接近满量程） |
| 普通温度计 | $0$—$100\,^\circ\mathrm{C}$ | $1\,^\circ\mathrm{C}$ | $1\,^\circ\mathrm{C}$ |
| 工业温度计 | $0$—$150\,^\circ\mathrm{C}$ | $0.5\,^\circ\mathrm{C}$ | $0.5\,^\circ\mathrm{C}$ |
5、误差的分布
(1)正态分布（高斯分布）
多次独立测量值常服从正态分布：
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) $$
- $\mu$：均值（数学期望，近似真值），当测量次数巨大时，将均值看作为真值。
- $\sigma$：标准差，反映分散性
正态分布存在一下特性：
- 单峰性：绝对值小的误差出现的可能性（概率）大，绝对值大的误差出现的可能性小。
- 对称性：大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧。
- 有界性：非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零。
- 抵偿性：当测量次数非常多时，正误差和负误差相互抵消，于是，误差的代数和趋向于零。
概率区间：
- $[\mu-\sigma, \mu+\sigma]$ 内概率 $68.3\%$
- $[\mu-2\sigma, \mu+2\sigma]$ 内概率 $95.4\%$
- $[\mu-3\sigma, \mu+3\sigma]$ 内概率 $99.7\%$
假定对一个量进行了有限的 $n$ 次测量，可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值（假定无系统误差）：
$$ \bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i $$
并通过如下公式计算出标准偏差：
$$ s(x) = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n} (x_k - \bar{x})^2} $$
上式是求出单次测量值的标准偏差的方法，若要求出平均值的标准偏差，需要使用如下公式：
$$ u_A(\bar{x}) = \frac{s(x)}{\sqrt{n}} $$
上述公式的来源、推导，需要学习概率论与数理统计模块。
(2)均匀分布
这也是一种常见的测量误差的分布，测量误差值一定会落在$(-a,a)$的区间内。
6、精密度、正确度与准确度
- 精密度：多次测量值接近程度（数据分散性）。
- 正确度：平均值接近真值程度。
- 准确度：数据集中于真值附近的程度，综合评价。
三、不确定度与误差
1、不确定度的概念
不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值。不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机误差分量和未定系统误差的联合分布范围。由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。
2、不确定度的分类
- A类分量 $u_A$：与随机误差有关，用统计方法评定。
- B类分量 $u_B$：与未定系统误差有关，用非统计方法评定。
这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度：
$$ u = \sqrt{u_A^2 + u_B^2} $$
3、不确定度的测量与计算
在具体使用中，测量不确定度又有三种不同的表述：
- 直接测量的合成标准不确定度$u$
- 间接测量的合成标准不确定度$u_c$
- 扩展不确定度$U$（本文不做研究）
(1)直接测量的合成标准不确定度$u$的计算
对于$u_A$求测量数据列的平均值：
$$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$
求平均值的标准偏差：
$$ s(\bar{x}) = \frac{s(x)}{\sqrt{n}} = \sqrt{ \frac{1}{n(n-1)} \left[ \sum_{k=1}^{n} (x_k - \bar{x})^2 \right] } $$
当 $6 \leq n \leq 10$，置信概率为 $68.3\%$ 时，可简化认为：
$$ u_A \approx S(\bar{x}) $$
然后根据使用仪器得出 $u_B$：
- 高斯分布： $u_B = \frac{\Delta_{\text{仪}}}{3}$
- 均匀分布： $u_B = \frac{\Delta_{\text{仪}}}{\sqrt{3}}$
总合成不确定度：
$$ u = \sqrt{u_A^2 + u_B^2} $$
给出直接测量的最后结果：
$$ y = \bar{y} \pm u\,(\text{单位}) $$
(2)间接测量的合成标准不确定度$u_c$的计算
间接测量是指利用某种已知的函数关系，从直接测量量来得到待测量量的测量。设间接被测量量 $y$ 与诸直接测量量 $x_i\ (i = 1,2,\dots,n)$ 由函数 $f$ 来确定：
$$ y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) $$
- 常用于和差形式的函数（公式1）
$$ u_c^2(y) = \sum_{i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} u(x_i) \right)^2 $$
常用于积商形式的函数（公式2）
$$ u_c^2[\ln y] = \sum_{i} \left( \frac{\partial \ln f}{\partial x_i} u(x_i) \right)^2 $$
或直接表示为（对各变量取对数）：
$$ u_c^2(y) = y^2 \sum_{i} \left( \frac{\partial \ln f}{\partial x_i} u(x_i) \right)^2 $$
下面是推导过程：用不确定度 $u(x_i)$ 代替微分 $\mathrm{d}x_i$，对于任意函数 $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，不确定度传播公式为：
$$ \Delta y = \frac{\partial f}{\partial x_1}\Delta x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}\Delta x_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\Delta x_n $$
平方求和得到：
$$ u_c^2(y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} u(x_1) \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial x_2} u(x_2) \right)^2 + \cdots + \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} u(x_n) \right)^2 $$
即：
$$ u_c(y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} u(x_i) \right)^2 } $$
三、有效数字与实验数据处理
1、有效数字的修约规则
- 四舍六入五单双法则：四及以下就舍掉，是六及以上就进一，遇五若前面是奇数就进一，最后一位就变成是偶数，若前面已是偶数，则舍掉。
- 有效数字位数反映准确度，与小数点无关，也不因单位不同而改变。
书写规则：
- 有效数字位数由合成不确定度决定。
- 测量值最后一位应与不确定度最后一位对齐。
- 不确定度首位为$1$或$2$时可取$2$位，其他只取$1$位。
例子：
$$ S = (2.3450 \pm 0.0320)\,\mathrm{cm}^2 \longrightarrow S = (2.34 \pm 0.04)\,\mathrm{cm}^2 $$
2、有效数字运算法则
- 加减：以末位最高者为准
- 乘除：以有效数字最少者为准
例题：
$$ 12.4 + 0.571 = 12.971 \to 13.0 $$
$$ 3600 \times 8.0 = 28800 \to 2.9 \times 10^4 $$
3、数据处理方法
(1)列表法
把原始数据和结果列入表格，便于查阅和统计。
(2)逐差法
多次测量分前后两组，间距加倍，提高可靠性，减少随机误差。详细推导过程参照高中物理课本
(3)作图法
- 数据点标注
- 连接光滑曲线
- 坐标轴、图名等标注齐全
- 线性拟合时用两点法或最小二乘法
(4)最小二乘法直线拟合
对于一组 $(x_i, y_i)$，理论满足 $y = bx + a$，使误差平方和最小：
$$ S = \sum_{i=1}^{n} [y_i - (bx_i + a)]^2 $$
解得：
$$ b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} $$
$$ a = \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n} $$
相关系数 $r$：
$$ r = \frac{ \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) }{ \sqrt{ \sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2 } } $$
详细推导内容前往文章——最小二乘法