以正弦函数的沃利斯公式为例：记$I_n=\int_0^{\frac \pi 2}\sin^nx\mathrm{d}x$，当$n\geq2$时，应用凑微分和分部积分得：

化简移项得： $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ 当$n$为偶数时： $I_n=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac\pi2$ 当$n$为奇数时： $I_n=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac23$

令$x=\frac\pi2-t$即可证明余弦公式的沃利斯公式。 根据这两个公式，可以推导出$\pi$的有理极限表达式： $\frac\pi2=\lim_{x\to+\infty}\Big[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\Big]^2\frac{1}{2n+1}$