方差 - 老官童鞋gogo的博客

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方差

2025-04-24

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一、方差的定义与性质#

方差是对随机变量取值离散程度的度量。

离散型随机变量 $X$ 的方差定义为

\mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - \mu)^2\bigr] = \sum_k (x_k - \mu)^2 p_k

连续型随机变量 $X$ 的方差定义为

\mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - \mu)^2\bigr] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x)\,\mathrm{d}x

方差也可表示为

\mathrm{Var}(X) = E\bigl[X^2\bigr] - \bigl(E[X]\bigr)^2

对于相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ ，有

\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)

方差的单位是随机变量单位的平方。

设 $X \sim \mathrm{B}(p)$ ，则

\mathrm{Var}(X) = p(1-p)

设 $X \sim B(n, p)$ ，则

\mathrm{Var}(X) = n\,p\,(1-p)

设 $X \sim \mathrm{Hypergeometric}(N, K, n)$ ，则

\mathrm{Var}(X) = n\,\frac{K}{N}\,\frac{N-K}{N}\,\frac{N-n}{\,N-1\,}

设 $X \sim \mathrm{Geometric}(p)$ （试验次数形式），则

\mathrm{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}

设 $X \sim \mathrm{NegativeBinomial}(r, p)$ （第 $r$ 次成功前的失败次数），则

\mathrm{Var}(X) = \frac{r\,(1-p)}{p^2}

设 $X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$ ，则

\mathrm{Var}(X) = \lambda

设 $X \sim U(a, b)$ ，则

\mathrm{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12}

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ，则

\mathrm{Var}(X) = \sigma^2

设 $X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$ ，则

\mathrm{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}

方差

作者

老官童鞋gogo

发布于

2025-04-24

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