大学物理实验绪论 - 老官童鞋gogo的博客

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大学物理实验绪论

2025-09-15

物理

/

实验

大学物理实验

一、实验测量与误差分布#

1、测量的基本概念#

直接测量：被测量可以直接通过仪器读数获得，无需通过计算转换。
间接测量：被测量需通过已知函数关系由直接测量量计算得到。
测量的四要素：被测对象、测量程序、测量准确度、计量单位。

2、有效数字与有效位数#

有效数字：可靠数字（仪器直读）+存疑数字（估读所得），反映测量精度。
有效位数：有效数字的总位数。

例子：钢板尺测量 $7.35\,\mathrm{cm}$ ，其中 $7.3$ 为可靠数字， $0.05$ 为存疑数字，共 $3$ 位有效数字。

3、误差的基本类型与表达#

(1)误差的定义#

\text{误差} = \text{测量值} - \text{真值}

(2)误差的分类#

系统误差（装置误差）：可预知，不可避免。系统误差包括：
- 已定系统误差：在同等条件下，对同一个待测量进行多次测量，测量值和真值的偏离总是相同的那部分误差分量，必须修正。
- 未定系统误差：已知存在于某个范围，而不知具体数值的系统误差
随机误差（偶然误差）：无规律涨落，服从统计分布（常见为正态分布）。
粗大误差（过失误差）：操作失误，可避免。

(3)误差的表示#

绝对误差：
$\Delta x = x_{\text{测量}} - x_{\text{真值}}$
相对误差（百分误差）：
$E = \frac{|x_{\text{测量}} - x_{\text{真值}}|}{x_{\text{真值}}} \times 100\%$
标准误差（标准差）：
$S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_{\text{测量}} - x_{\text{真值}})^2}$

4、仪器允差（示值误差）举例#

系统允差的计算公式为：

\Delta_\text{仪} = \text{量程} × \text{级别}\%

仪器名称	量程	分度值	允差（示值误差）
钢板尺	$1000\,\mathrm{mm}$	$1\,\mathrm{mm}$	$\pm 0.20\,\mathrm{mm}$
钢板尺	$500\,\mathrm{mm}$	$1\,\mathrm{mm}$	$\pm 0.15\,\mathrm{mm}$
钢板尺	$150\,\mathrm{mm}$	$1\,\mathrm{mm}$	$\pm 0.10\,\mathrm{mm}$
游标卡尺	$125\,\mathrm{mm}$	$0.02\,\mathrm{mm}$	$\pm 0.02\,\mathrm{mm}$
螺旋测微器,(1级)	$25\,\mathrm{mm}$	$0.01\,\mathrm{mm}$	$\pm 0.004\,\mathrm{mm}$
电表（0.5级）	—	—	$0.5\% \times \text{量程}$
机械式停表	—	$0.1\,\mathrm{s}$	$0.1\,\mathrm{s}$
数字毫秒表	—	$0.1\,\mathrm{s}$	$0.1\,\mathrm{s}$
物理天平	$500\,\mathrm{g}$	$0.05\,\mathrm{g}$	$0.08\,\mathrm{g}$ （接近满量程）
普通温度计	$0$ — $100\,^\circ\mathrm{C}$	$1\,^\circ\mathrm{C}$	$1\,^\circ\mathrm{C}$
工业温度计	$0$ — $150\,^\circ\mathrm{C}$	$0.5\,^\circ\mathrm{C}$	$0.5\,^\circ\mathrm{C}$

5、误差的分布#

(1)正态分布（高斯分布）#

多次独立测量值常服从正态分布：

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)

$\mu$ ：均值（数学期望，近似真值），当测量次数巨大时，将均值看作为真值。
$\sigma$ ：标准差，反映分散性

正态分布存在一下特性：

单峰性：绝对值小的误差出现的可能性（概率）大，绝对值大的误差出现的可能性小。
**对称性：**大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧。
**有界性：**非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零。
**抵偿性：**当测量次数非常多时，正误差和负误差相互抵消，于是，误差的代数和趋向于零。

概率区间：

$[\mu-\sigma, \mu+\sigma]$ 内概率 $68.3\%$
$[\mu-2\sigma, \mu+2\sigma]$ 内概率 $95.4\%$
$[\mu-3\sigma, \mu+3\sigma]$ 内概率 $99.7\%$

假定对一个量进行了有限的 $n$ 次测量，可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值（假定无系统误差）：

\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i

并通过如下公式计算出标准偏差：

s(x) = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n} (x_k - \bar{x})^2}

上式是求出单次测量值的标准偏差的方法，若要求出平均值的标准偏差，需要使用如下公式：

u_A(\bar{x}) = \frac{s(x)}{\sqrt{n}}

上述公式的来源、推导，需要学习概率论与数理统计模块。

(2)均匀分布#

这也是一种常见的测量误差的分布，测量误差值一定会落在 $(-a,a)$ 的区间内。

6、精密度、正确度与准确度#

精密度：多次测量值接近程度（数据分散性）。
正确度：平均值接近真值程度。
准确度：数据集中于真值附近的程度，综合评价。

三、不确定度与误差#

1、不确定度的概念#

不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值。不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机误差分量和未定系统误差的联合分布范围。由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。

2、不确定度的分类#

A类分量 $u_A$ ：与随机误差有关，用统计方法评定。
B类分量 $u_B$ ：与未定系统误差有关，用非统计方法评定。

这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度：

u = \sqrt{u_A^2 + u_B^2}

3、不确定度的测量与计算#

在具体使用中，测量不确定度又有三种不同的表述：

直接测量的合成标准不确定度 $u$
间接测量的合成标准不确定度 $u_c$
扩展不确定度 $U$ （本文不做研究）

(1)直接测量的合成标准不确定度 $u$ 的计算#

对于 $u_A$ 求测量数据列的平均值：

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i

求平均值的标准偏差：

s(\bar{x}) = \frac{s(x)}{\sqrt{n}} = \sqrt{ \frac{1}{n(n-1)} \left[ \sum_{k=1}^{n} (x_k - \bar{x})^2 \right] }

当 $6 \leq n \leq 10$ ，置信概率为 $68.3\%$ 时，可简化认为：

u_A \approx S(\bar{x})

然后根据使用仪器得出 $u_B$ ：

高斯分布： $u_B = \frac{\Delta_{\text{仪}}}{3}$
均匀分布： $u_B = \frac{\Delta_{\text{仪}}}{\sqrt{3}}$

总合成不确定度：

u = \sqrt{u_A^2 + u_B^2}

给出直接测量的最后结果：

y = \bar{y} \pm u\,(\text{单位})

(2)间接测量的合成标准不确定度 $u_c$ 的计算#

间接测量是指利用某种已知的函数关系，从直接测量量来得到待测量量的测量。设间接被测量量 $y$ 与诸直接测量量 $x_i\ (i = 1,2,\dots,n)$ 由函数 $f$ 来确定：

y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)

常用于和差形式的函数（公式1）

u_c^2(y) = \sum_{i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} u(x_i) \right)^2

常用于积商形式的函数（公式2）

u_c^2[\ln y] = \sum_{i} \left( \frac{\partial \ln f}{\partial x_i} u(x_i) \right)^2

或直接表示为（对各变量取对数）：

u_c^2(y) = y^2 \sum_{i} \left( \frac{\partial \ln f}{\partial x_i} u(x_i) \right)^2

下面是推导过程：用不确定度 $u(x_i)$ 代替微分 $\mathrm{d}x_i$ ，对于任意函数 $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ ，不确定度传播公式为：

\Delta y = \frac{\partial f}{\partial x_1}\Delta x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}\Delta x_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\Delta x_n

平方求和得到：

u_c^2(y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} u(x_1) \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial x_2} u(x_2) \right)^2 + \cdots + \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} u(x_n) \right)^2

即：

u_c(y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} u(x_i) \right)^2 }

三、有效数字与实验数据处理#

1、有效数字的修约规则#

四舍六入五单双法则：四及以下就舍掉，是六及以上就进一，遇五若前面是奇数就进一，最后一位就变成是偶数，若前面已是偶数，则舍掉。
有效数字位数反映准确度，与小数点无关，也不因单位不同而改变。

书写规则：

有效数字位数由合成不确定度决定。
测量值最后一位应与不确定度最后一位对齐。
不确定度首位为 $1$ 或 $2$ 时可取 $2$ 位，其他只取 $1$ 位。

例子：

S = (2.3450 \pm 0.0320)\,\mathrm{cm}^2 \longrightarrow S = (2.34 \pm 0.04)\,\mathrm{cm}^2

2、有效数字运算法则#

加减：以末位最高者为准
乘除：以有效数字最少者为准

例题：

12.4 + 0.571 = 12.971 \to 13.0

3600 \times 8.0 = 28800 \to 2.9 \times 10^4

3、数据处理方法#

(1)列表法#

把原始数据和结果列入表格，便于查阅和统计。

(2)逐差法#

多次测量分前后两组，间距加倍，提高可靠性，减少随机误差。详细推导过程参照~~高中物理课本~~

(3)作图法#

数据点标注
连接光滑曲线
坐标轴、图名等标注齐全
线性拟合时用两点法或最小二乘法

(4)最小二乘法直线拟合#

对于一组 $(x_i, y_i)$ ，理论满足 $y = bx + a$ ，使误差平方和最小：

S = \sum_{i=1}^{n} [y_i - (bx_i + a)]^2

解得：

b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}

a = \frac{\sum y_i - b \sum x_i}{n}

相关系数 $r$ ：

r = \frac{ \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) }{ \sqrt{ \sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2 } }

详细推导内容前往文章——最小二乘法