流体运动的描述主要有两种基本方法：
- 拉格朗日方法（Lagrangian Description）：跟踪流体中各个微小粒子的运动，描述粒子在随时间演化过程中的位置、速度和加速度。
- 欧拉方法（Eulerian Description）：在固定的空间控制体上描述流体的各种物理量（如速度、密度、压强等）随时间的变化。
下面分别对这两种方法进行详细推导介绍。
一、拉格朗日方法#
拉格朗日方法关注流体中每个微元粒子，标记每个粒子在初始时的参照位置 X，其随时间的运动由映射函数描述。设
x=χ(X,t),其中
- X 是参考坐标（初始位置），
- x 是时刻 t 时粒子的当前位置，
- χ(X,t) 表示粒子的运动轨迹。
1. 速度和加速度#
粒子的速度定义为其位置对时间的偏导数：
v(X,t)=∂t∂χ(X,t).相应地，粒子的加速度为速度的时间二阶导数：
a(X,t)=∂t2∂2χ(X,t).2. 质量守恒#
在拉格朗日描述中，每个流体粒子自身质量保持不变。设在初始状态下，流体微元体积为 dV0、密度为 ρ0(X)；而在时刻 t 时，该微元体积为 dV、密度为 ρ(x,t)。由于质量不变，有
ρ0(X)dV0=ρ(x,t)dV.令体积变换的雅可比行列式为
J(X,t)=det(∂X∂χ),因而有
dV=J(X,t)dV0.最终可写出质量守恒关系为
ρ(x,t)=J(X,t)ρ0(X).3. 动量守恒（牛顿第二定律）#
对于单个流体粒子，根据牛顿第二定律，其受力与加速度满足
ρ0(X)∂t2∂2χ(X,t)=F(x,t).在理想流体中，常见的力有压强梯度力和外部重力，其中
F(x,t)=−∇xp(x,t)+ρ(x,t)g,这里 ∇x 表示在当前空间坐标下的梯度操作，而 g 为重力加速度（或其他外部保守力场）。
4. 综合描述#
通过给定初始条件和外部力场信息，可以求解映射函数 χ(X,t)，进而得到流体粒子的运动轨迹及所有相关物理量。拉格朗日方法的优势在于其自然跟踪每个流体粒子，便于研究物质混合、界面演化等问题，但在数值求解时可能面临大变形带来的网格扭曲问题。
二、欧拉方法#
与拉格朗日方法不同，欧拉方法选择在固定的空间点考察流体的状态，即探讨各个点处流体物理量随时间的变化情况。描述变量均写作 (x,t) 的函数。
1. 状态变量#
在欧拉描述中，主要状态变量有：
- 密度场：ρ(x,t)
- 速度场：v(x,t)
- 压强场：p(x,t)
2. 物质导数#
由于流体粒子不断流动，一个固定空间点处测得的物理量不一定代表某一特定粒子的变化。为此，引入物质导数，定义为
DtD=∂t∂+v(x,t)⋅∇,它反映了沿着流体运动路径上物理量的实际变化率。
3. 连续性方程（质量守恒）#
欧拉描述下的质量守恒（连续性）方程表达为
∂t∂ρ+∇⋅(ρv)=0.在不可压流体（ρ 常数）的条件下，上式化简为
∇⋅v=0.4. 欧拉动量方程#
根据牛顿第二定律，对于单位体积的流体，动量变化率满足
ρDtDv=−∇p+ρg.其中，
DtDv=∂t∂v+(v⋅∇)v.这个方程称为欧拉方程，适用于描述无粘的理想流体。
5. 综合描述#
欧拉方法的求解工作通常集中在求解上述偏微分方程组，利用初始条件和边界条件确定整个流场。该方法适合大尺度连续介质模拟，如气象预报、海洋流动等；但在某些涉及自由界面或需精细跟踪单个流体粒子的情况下，可能不如拉格朗日方法直观。
三、方法比较与转化#
- 拉格朗日方法通过跟踪每个流体微粒的运动，能直观地描述物质的路径和历史，但数值实现上容易遭遇粒子聚集或网格扭曲问题。
- 欧拉方法则是在固定的空间控制体上观察流体状态变化，适用于大规模数值模拟并方便应用常用的离散化技术（如有限差分、有限体积等），但难以直接获得单个粒子的运动信息。
实际上，这两种方法在理论上是等价的，可通过以下关系进行转化：
设 x=χ(X,t)，则在欧拉描述下，由雅可比行列式 J(X,t) 可以将拉格朗日的质量守恒关系转换为欧拉的连续性方程。