数列和函数极限的28种定义 - 老官童鞋gogo的博客

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数列和函数极限的28种定义

2024-10-24

数学

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高等数学

微积分

数列极限#

$\lim _{n\to + \infty }a_n= a$ （存在），当 $n>N$ 时恒有 $|a_n-a|<\varepsilon$ 。
$\lim_{n\to+\infty}a_n=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists N\in Z^+$ ，当 $n>N$ 时恒有 $|a_n|>M$ 。
$\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists N\in Z^+$ ，当 $n>N$ 时恒有 $a_n>M$ 。
$\lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists N\in Z^+$ ，当 $n>N$ 时恒有 $a_n<-M$ 。

函数极限#

$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ （存在） $\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$ ，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 。
$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A$ （存在） $\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$ ，当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 。
$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A$ （存在） $\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$ ，当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 。
$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$ ，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时恒有 $|f(x)|>M$ 。
$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$ ，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时恒有 $f(x)>M$ 。
$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$ ，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时恒有 $f(x)<-M$ 。
$\lim_{\cdot x\to x_0^+}f(x)=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$ ，当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时恒有 $|f(x)|>M$ 。
$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$ ，当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时恒有 $f(x)>M$ 。
$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$ ，当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时恒有 $f(x)<-M$ 。
$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$ ，当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时恒有 $|f(x)|>M$ 。
$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$ ，当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时恒有 $f(x)>M$ 。
$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$ ，当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时恒有 $f(x)<-M$ 。
$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$ （存在） $\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0$ ，当 $|x|>X$ 时恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 。
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$ （存在） $\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0$ ，当 $x>X$ 时恒有 $\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$ 。
$\lim_{x\to-\infty}f(x)=A$ （存在） $\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0$ ，当 $x<-X$ 时恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 。
$\lim _{x\to \infty }f( x) = \infty \Leftrightarrow \forall M> 0, \exists X> 0$ ，当 $|x| > X$ 时恒有 $|f(x)|>M$ 。
$\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists X>0$ ，当 $|x|>X$ 时恒有 $f(x)>M$ 。
$\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists X>0$ ，当 $|x|>X$ 时恒有 $f(x)<-M$ 。
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists X>0$ ，当 $x>X$ 时恒有 $|f(x)|>M$ 。
$\lim _{x\to + \infty }f( x) = + \infty \Leftrightarrow \forall M> 0, \exists X> 0$ ，当 $x> X$ 时恒有 $f(x)>M$ 。
$\lim _{x\to + \infty }f( x) = - \infty \Leftrightarrow \forall M> 0, \exists X> 0$ ，当 $x> X$ 时恒有 $f(x)<-M$ 。
$\lim _{x\to - \infty }f( x) = \infty \Leftrightarrow \forall M> 0, \exists X> 0$ ，当 $x< - X$ 时恒有 $|f(x)|>M$ 。
$\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists X>0$ ，当 $x<-X$ 时恒有 $f(x)>M$ 。
$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists X>0$ ，当 $x<-X$ 时恒有 $f(x)<-M$ 。