全微分与复合多元函数偏导数 - 老官童鞋gogo的博客

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全微分与复合多元函数偏导数

2025-03-27

数学

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高等数学

微积分

一、全微分#

对于二元函数 $z=f(x,y)$ ，仅研究一个自变量变化时函数的性态是不够的，经常要讨论两个自变量 $x,y$ 分别有增量 $\Delta x,\Delta y$ 时，相应函数值的改变量（即全增量）：

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$

的变化情况。类似于一元函数的微分，下面以二元函数为例介绍多元函数的全微分。

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若存在常数 $A,B$ 对充分小的 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 均有

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\quad (\rho\to 0)$

其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ ，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处可微。称 $A\Delta x+B\Delta y$ 为函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0$ 处的全微分，记作

$\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y$

由上面定义可知，全微分为全增量 $\Delta z$ 的主要部分，因其为 $\Delta x,\Delta y$ 的线性函数，通常称为线性主部。若 $z=f(x,y)$ 在点 $P$ 处可微，则 $f(x,y)$ 在点 $P$ 处可偏导。

证明：若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处可微，则存在常数 $A,B$ 使得 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$ 其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ 。当 $\Delta y=0$ 时， $\Delta_xz=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)=A\Delta x+o(\Delta x)$ 因此 $f'_x(x,y)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{A\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x}=A$ 同样可得 $f'_y(x,y)=B$

根据上面定理，若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处可微，则 $\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y=f'_x(x,y)\Delta x+f'_y(x,y)\Delta y$ 特别地，对于函数 $z=x$ ，有 $\mathrm{d}z=\mathrm{d}x=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y=\Delta x$ 类似地， $\mathrm{d}y=\Delta y$ 。

根据上面的定理及说明，若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处可微，则 $\mathrm{d}z=f'_x(x,y)\mathrm{d}x+f'_y(x,y)\mathrm{d}y$ 或 $\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$

二、多元函数求偏导的链式法则#

由于多元函数含多个自变量，其复合结构要比一元函数复杂：我们先介绍二元复合函数的偏导数计算方法，据此可以很容易推广到其他多元复合函数的情况。

设函数 $u = g(x,y)$ 和 $v = h(x,y)$ 定义在 $xOy$ 平面的区域 $D_{xy}$ 上，函数 $z=f(u,v)$ 定义在 $uOv$ 平面的区域 $D_{uv}$ 上，且满足 $\{(u,v)|u=g(x,y),v=h(x,y),(x,y)∈D_{xy}\}⊂D_{uv}$ . 则函数 $z=f(u,v)=f(g(x,y),h(x,y)),(x,y)∈D_{xy}$ 是以 $f$ 为外函数， $g,h$ 为内函数的复合函数，其中 $x,y$ 为函数 $f$ 的自变量， $u,v$ 为函数 $f$ 中间变量。

设函数 $u=g(x,y)$ 和 $v=h(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处偏导数存在，函数 $z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 处有一阶连续偏导数，则 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 均存在，且

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}$

证明：当 $\Delta y=0$ 时

$\Delta_zu=g(x+\Delta x,y)-g(x,y),\quad\Delta_xv=h(x+\Delta_x,y)-h(x,y)$

由于 $z=f(u,v)$ 有一阶连续偏导数，根据全微分公式，有

$\Delta_xz=f_u'(u,v)\Delta_xu+ f_v'(u,v)\Delta_xv+(\alpha\Delta_xu+\beta\Delta_xv)$ 当 $\Delta_xu→0,\Delta_xv→0$ 时， $\alpha>0,\beta>0$ .

当 $\Delta x→0$ 时， $\Delta_xu→0,\Delta_xv→0$ .

所以 $\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta_xz}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\left(f_u'\cdot\frac{\Delta_xu}{\Delta x}+f_v'\cdot\frac{\Delta_xv}{\Delta x}+\alpha\cdot\frac{\Delta_xu}{\Delta x}+\beta\cdot\frac{\Delta_xv}{\Delta x}\right)\\&=f_u'\cdot g'_x+f'_v\cdot h'_x\\&=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}\end{aligned}$

即： $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}$ 同理可得： $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}$ 上述给出的复合函数偏导数的计算方法，也称为复合函数偏导数计算的链式法则。