(1) 对点的动量矩#

质点$A$的动量$m\vec{v}$对点$O$的矩，定义为质点$A$对点$O$的动量矩：

(2) 对轴的动量矩#

动量$m\vec{v}$对各坐标轴的矩的解析表达式为：

比较对点的动量矩的表达式，可以得到，质点对$O$点的动量矩在坐标轴上的投影等于质点对相应轴的动量矩。

(1) 对点的动量矩#

质点系内各质点对某点$O$的动量矩的矢量和，称为这质点系对该点$O$的动量主矩或动量矩，用$\vec{L}_O$表示，有：

(3) 对轴的动量矩#

类似的，可以得到质点系对各坐标轴的动量矩表达式：

(1) 平动刚体对固定点$O$的动量矩#

设刚体平移，刚体内任一点$A$的矢径是$r_i$，该点的质量为$m_i$，速度大小为$\vec{v}_i$。该质点对点$O$的动量矩为：

从而整个刚体对点$O$的动量矩为：

因为刚体平移$\vec{v}_i=\vec{v}_C$，则：

再一步化简，由$m\vec{r}_C=\sum m_i\vec{r}_i$得到：

(2) 定轴转动刚体对其转轴的动量矩#

设刚体以角速度$\omega$绕固定轴$z$转动，刚体内任意一点$A$的转动半径为$r_i$，速度为$v_i=r_i\omega$，方向同时垂直于轴$z$和转动半径$r_i$，并且指向转动前进的一方。若用$m_i$表示该质点的质量，则其动量对转轴$z$的动量矩为：

从而整个刚体对轴$z$的动量矩为：

集中$J_z$为刚体对$z$轴的转动惯量。

NOTE

转动惯量的计算参考：各类刚体的转动惯量

补充回转半径（惯性半径）概念：

$$\rho_z=\sqrt\frac{J_z}{m}$$

(3) 平面运动刚体对固定点$O$的动量矩#

这也是质点系对固定点$O$的动量矩的另一种表示，过固定点$O$建立固定坐标系$Oxyz$，以质点系的质心$C$为原点，取平移坐标系$Cx'y'z'$，质点系对固定点$O$的动量矩为：

其中$\vec{L}_C=\sum(\vec{r}_{r_i}\times m_i\vec{v}_{ri})$，指的是质点系相对于质心$C$的动量矩。

证明：

过固定点$O$建立固定坐标系$Oxvz$，以质点系的质心$C$为原点，取平动坐标系 $Cx^\prime v^{\prime}z^{\prime}$,它以质心的速度 $\vec{v}_C$运动。设质点系内任一质点$A_i$在这平移坐标系中的相对速度是$\vec{v} _{ri}$，该点的绝对速度$\vec{v}_{i}=\vec{v}_{ei}+ \vec{v}_{ri}= \vec{v}_{C}+ \vec{v}_{ri}$，则质点系对固定点$O$的动量矩为：

$$\begin{aligned} \vec{L}_O&=\sum(r_i\times m_i\vec{v}_i)\\&=\sum[(\vec{r}_C+\vec{r}_{ri})\times m_i(\vec{v}_C+\vec{v}_{ri})] \\&=\sum(\vec{r}_C\times m_i\vec{v}_C)+\sum(\vec{r}_C\times m_i\vec{v}_{\mathrm{r}i})+\sum(\vec{r}_{ri}\times m_i\vec{v}_C)+\sum(\vec{r}_{ri}\times m_i\vec{v}_{ri}) \end{aligned}$$

上式的第一项化简为：

$$\sum ( \vec{r}_C \times m_i \vec{v}_C ) = \vec{r}_C \times \sum m_i \vec{v}_C = \vec{r}_C \times m \vec{v}_C$$

第二项化简为：

$$\sum ( \vec{r}_C \times m_i \vec{v}_{ri} ) = \vec{r}_C \times \sum ( m_i \vec{v}_{ri} ) = \vec{r}_C \times \sum m_i \vec{v}_{rC} = 0$$

第三项化简为：

$$\sum ( \vec{r}_{ri} \times m_i \vec{v}_C ) = \sum ( m_i \vec{r}_{ri} ) \times \vec{v}_C = \sum m_i \vec{r}_{rC} \times \vec{v}_C = 0$$

综上得到结论。

(1) 对固定点的动量矩定理#

因为质点系对定点$O$的动量矩为：

将其两端求时间的导数，得到：

其中$\sum \vec{M}_O(\vec{F}_i)$可以分为外力对$O$点的矩和内力对$O$点的矩两项，即：

而内力对$O$点的矩为$0$，所以得到：

令$\vec{M}_O=\sum\vec{M}_O(\vec{F}_i^{(e)})$，则：

质点系对某固定点的动量矩随时间的变化率，等于作用于质点系的全部外力对同一点的矩的矢量和（外力对点$O$的主矩），这就是质点系对定点的动量矩定理。

(2) 对定轴的动量矩定理#

将上式投影到固定坐标轴系上，注意到导数的投影等于投影的导数，则得：

质点系对某固定轴的动量矩随时间的变化率，等于作用于质点系的全部外力对同一轴的矩的代数和，这就是质点系对定轴的动量矩定理。