1. 定义#

设函数 $f(x)$ 在某点 $x=a$ 的邻域内有无穷阶导数。若存在一个级数满足：

且该级数在某邻域内收敛于 $f(x)$，则称该级数为 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的泰勒级数。

2. 泰勒公式及其拉格朗日型余项#

设函数 $f$ 在闭区间 $[a, x]$ 上具有 $n+1$ 阶连续导数。根据泰勒定理，存在某个 $\xi$ 介于 $a$ 与 $x$ 之间，使得：

其中余项 $R_n(x)$ 的拉格朗日形式为：

3. 证明泰勒展开的推导#

我们从函数的积分表示出发来构造展开：

假设 $f$ 在 $[a,x]$ 上 $(n+1)$ 阶可导。

我们对 $f$ 逐阶积分，建立如下恒等式：

首先注意：

又有：

代入得到：

不断重复这个操作，我们可以得到通式：

该积分余项形式称为积分余项型泰勒公式。

在此基础上，若我们对余项 $R_n(x)$ 应用平均值定理（广义柯西中值定理），可得：

其中 $\xi \in (a,x)$。

4. 泰勒级数收敛的条件#

我们希望极限成立：

这需要对函数 $f(x)$ 的导数进行控制。

一种常见情况是：存在常数 $M$ 与 $R$ 使得：

则级数

在 $|x - a| < \frac{1}{R}$ 内绝对收敛。

5. 示例：$e^x$ 的泰勒展开#

函数 $f(x) = e^x$ 的各阶导数均为 $e^x$，所以 $f^{(n)}(0) = 1$。

代入展开式得：

我们可以估算余项：

显然 $|R_n(x)| \leq \frac{e^{|x|}}{(n+1)!} |x|^{n+1} \to 0$，当 $n \to \infty$，所以级数收敛于 $e^x$。

1. 定义#

对于周期函数 $f(x)$，设周期为 $2L$，若 $f(x)$ 在 $[-L, L]$ 上绝对可积，可展开为：

2. 傅里叶系数的计算公式#

利用正交性计算傅里叶系数：

• 零次项（平均值）：

• 余弦系数：

• 正弦系数：

3. 证明思路：使用正交基展开#

4. 收敛性说明（狄利克雷条件）#

若 $f(x)$ 满足以下条件，则其傅里叶级数在 $(-L, L)$ 上逐点收敛：

• 在 $[-L, L]$ 上绝对可积；
• $f(x)$ 分段光滑（有限个不连续点和拐点）；
• 在每个不连续点收敛于左右极限的平均值：

5. 示例：周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x) = x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的傅里叶级数#

1. 函数为奇函数 ⇒ 所有 $a_n = 0$

2. 计算 $b_n$：

最终傅里叶展开为：