（1）参数化形式#

设$S$用参数方程表示为：

则面积微元为

其中

所以：

（2）投影法#

假设$S$可以投影到$xy$、$yz$、$xz$平面上的一个区域$D$，且曲面可表示为$z = z(x, y)$、$x = x(y, z)$、$y = y(x, z)$等形式。下面的表示形式可以由参数化形式推导而来。

(a) $z = z(x, y)$型：

其中 $z_x = \frac{\partial z}{\partial x}$, $z_y = \frac{\partial z}{\partial y}$

因此：

(b) $x = x(y, z)$型：

(c) $y = y(x, z)$型：

证明： 曲面参数化：

$$z = f(x, y)$$

则曲面参数化为

$$\vec{r}(x, y) = (x, y, f(x, y))$$

求微元面积$\mathrm{d}S$： 首先计算

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial x} = (1, 0, f_x) \\ \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} = (0, 1, f_y)$$

叉积为

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & f_x \\ 0 & 1 & f_y \end{vmatrix} = (-f_x, -f_y, 1)$$

取模得

$$\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} \right| = \sqrt{f_x^2 + f_y^2 + 1}$$

所以

$$\mathrm{d}S = \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 + 1 }\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$$

（3）隐函数型#

假设曲面 $S$ 上 $F(x, y, z) = 0$，且 $F$ 在$S$上各点具有连续偏导数。若在曲面上 $F_z \neq 0$，则可用 $z$ 作为 $x, y$ 的函数，即 $z = f(x, y)$。

曲面上微元面积和微元在 $xy$ 平面投影面积之比为法向量模与 $z$ 轴夹角的余弦的倒数，或直接用法向量推导，隐函数 $F(x, y, z) = 0$ 的法向量为

曲面微元面积

其中

所以

其中$D$为曲面在$xy$平面上的投影区域。

如果$F_y \neq 0$或$F_x \neq 0$，也可以对$y$或$x$积分，形式类似。

或

证明：

由隐函数求导法则：

$$F(x, y, f(x, y)) = 0 \implies F_x + F_z f_x = 0 \implies f_x = -\frac{F_x}{F_z} \\ F_y + F_z f_y = 0 \implies f_y = -\frac{F_y}{F_z}$$

代入上式：

$$\begin{aligned} \mathrm{d}S &= \sqrt{ \left(-\frac{F_x}{F_z}\right)^2 + \left(-\frac{F_y}{F_z}\right)^2 + 1 }\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\ &= \sqrt{ \frac{F_x^2 + F_y^2}{F_z^2} + 1 }\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\ &= \sqrt{ \frac{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}{F_z^2} }\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\ &= \frac{ \sqrt{ F_x^2 + F_y^2 + F_z^2 } }{ |F_z| } \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \end{aligned}$$

因此，

$$\iint_S f(x, y, z)\, \mathrm{d}S = \iint_{D_{xy}} f(x, y, f(x, y))\, \frac{ \sqrt{ F_x^2 + F_y^2 + F_z^2 } }{ |F_z| }\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$$

其中 $D_{xy}$ 为曲面 $S$ 在 $xy$ 平面上的投影区域。

（4）雅可比行列式的平方和的方法#

设曲面 $S$ 由参数 $(u, v)$ 描述，$x = x(u, v),\ y = y(u, v),\ z = z(u, v)$，则曲面微元面积：

但直接参数化往往不容易，针对隐函数 $F(x, y, z) = 0$，我们可以利用三个雅可比行列式的平方和公式：

那么

证明：

参数化向量为

$$\vec{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))$$

则

$$\frac{\partial\vec{r}}{\partial u} = (x_u, y_u, z_u), \quad \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} = (x_v, y_v, z_v)$$

两者叉积：

$$\frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix}$$ $$= \left( y_u z_v - z_u y_v,\ z_u x_v - x_u z_v,\ x_u y_v - y_u x_v \right )$$

所以

$$\left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \right | = \sqrt{ (y_u z_v - z_u y_v)^2 + (z_u x_v - x_u z_v)^2 + (x_u y_v - y_u x_v)^2 }$$

而

$$\begin{aligned} J_1 = \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)} = y_u z_v - z_u y_v \\ J_2 = \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)} = z_u x_v - x_u z_v \\ J_3 = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = x_u y_v - y_u x_v \end{aligned}$$

因此

$$\mathrm{d}S = \sqrt{ J_1^2 + J_2^2 + J_3^2 }\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v$$

（5）极坐标参数化（如球面、柱面）#

• 球面：$x = a\sin\varphi\cos\theta,\, y = a\sin\varphi\sin\theta,\, z = a\cos\varphi$, $\varphi \in [0, \pi]$, $\theta \in [0, 2\pi]$

  $\mathrm{d}S = a^2 \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta$

• 柱面：$x = a\cos\theta,\, y = a\sin\theta,\, z = z$, $\theta \in [0, 2\pi]$, $z \in [z_1, z_2]$

  $\mathrm{d}S = a\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z$

下面是证明过程：

（1）球面面积元$\mathrm{d}S$的推导

设有半径为$a$的球面，其参数方程为

$$\begin{cases} x = a \sin\varphi \cos\theta \\ y = a \sin\varphi \sin\theta \\ z = a \cos\varphi \end{cases}$$

其中$\varphi \in [0, \pi]$为极角，$\theta \in [0, 2\pi]$为方位角。

步骤1：写出球面上点的参数化向量

$$\mathbf{r}(\varphi, \theta) = \left( a \sin\varphi \cos\theta,\ a \sin\varphi \sin\theta,\ a \cos\varphi \right)$$

步骤2：分别对参数$\varphi$和$\theta$求偏导

对$\varphi$求偏导：

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} = \left( a \cos\varphi \cos\theta,\ a \cos\varphi \sin\theta,\ -a \sin\varphi \right )$$

对$\theta$求偏导：

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left( -a \sin\varphi \sin\theta,\ a \sin\varphi \cos\theta,\ 0 \right )$$

步骤3：计算这两个向量的叉积

记

$$\mathbf{A} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} = \left( a \cos\varphi \cos\theta,\ a \cos\varphi \sin\theta,\ -a \sin\varphi \right )$$ $$\mathbf{B} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left( -a \sin\varphi \sin\theta,\ a \sin\varphi \cos\theta,\ 0 \right )$$

计算叉积$\mathbf{A} \times \mathbf{B}$：

$$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a\cos\varphi\cos\theta & a\cos\varphi\sin\theta & -a\sin\varphi \\ -a\sin\varphi\sin\theta & a\sin\varphi\cos\theta & 0 \end{vmatrix}$$

计算每一分量：

• $\mathbf{i}$ 分量：

$$a\cos\varphi\sin\theta \cdot 0 - (-a\sin\varphi) \cdot a\sin\varphi\cos\theta = a^2\sin^2\varphi\cos\theta$$

• $-\mathbf{j}$ 分量：

$$a\cos\varphi\cos\theta \cdot 0 - (-a\sin\varphi) \cdot (-a\sin\varphi\sin\theta) = -a^2\sin^2\varphi\sin\theta$$

• $\mathbf{k}$ 分量：

$$\begin{aligned} a\cos\varphi\cos\theta \cdot a\sin\varphi\cos\theta - a\cos\varphi\sin\theta \cdot (-a\sin\varphi\sin\theta)\\ = a^2\cos\varphi\sin\varphi(\cos^2\theta + \sin^2\theta ) = a^2\cos\varphi\sin\varphi \end{aligned}$$

因此

$$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( a^2\sin^2\varphi\cos\theta,\ -a^2\sin^2\varphi\sin\theta,\ a^2\cos\varphi\sin\varphi \right )$$

步骤4：取模（即为面积元）

$$\left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right| = \sqrt{ \left(a^2\sin^2\varphi\cos\theta\right)^2 + \left(-a^2\sin^2\varphi\sin\theta\right)^2 + \left(a^2\cos\varphi\sin\varphi\right)^2 }$$ $$= a^2 \sqrt{ \sin^4\varphi \cos^2\theta + \sin^4\varphi \sin^2\theta + \cos^2\varphi \sin^2\varphi }$$ $$= a^2 \sqrt{ \sin^4\varphi (\cos^2\theta + \sin^2\theta ) + \cos^2\varphi \sin^2\varphi }$$ $$= a^2 \sqrt{ \sin^4\varphi + \cos^2\varphi \sin^2\varphi }$$ $$= a^2 \sqrt{ \sin^2\varphi ( \sin^2\varphi + \cos^2\varphi ) }$$ $$= a^2 \sqrt{ \sin^2\varphi \cdot 1 } = a^2 \sin\varphi$$

步骤5：写出面积元

$$\mathrm{d}S = \left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right| \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta = a^2 \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta$$

（2）柱面面积元$\mathrm{d}S$的推导

设有半径为$a$的柱面，其参数方程为

$$\begin{cases} x = a \cos\theta \\ y = a \sin\theta \\ z = z \end{cases}$$

其中$\theta \in [0, 2\pi]$，$z \in [z_1, z_2]$。

步骤1：参数化向量

$$\mathbf{r}(\theta, z) = \left( a \cos\theta,\ a \sin\theta,\ z \right )$$

步骤2：分别对参数$\theta$和$z$求偏导

对$\theta$求偏导：

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left( -a \sin\theta,\ a \cos\theta,\ 0 \right )$$

对$z$求偏导：

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \left( 0,\ 0,\ 1 \right )$$

步骤3：计算这两个向量的叉积

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ - a \sin\theta & a \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

计算各分量：

• $\mathbf{i}$ 分量：

$$a \cos\theta \cdot 1 - 0 \cdot 0 = a \cos\theta$$

• $-\mathbf{j}$ 分量：

$$-(-a \sin\theta \cdot 1 - 0 \cdot 0 ) = a \sin\theta$$

• $\mathbf{k}$ 分量：

$$- a \sin\theta \cdot 0 - a \cos\theta \cdot 0 = 0$$

所以

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \left( a \cos\theta,\ a \sin\theta,\ 0 \right )$$

步骤4：取模

$$\left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} \right| = \sqrt{ (a\cos\theta)^2 + (a\sin\theta)^2 + 0^2 } = a \sqrt{ \cos^2\theta + \sin^2\theta } = a$$

步骤5：写出面积元

$$\mathrm{d}S = a\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z$$

（1）参数化形式#

同第一类，$S$用参数方程

带方向面积元：

所以：

（2）投影法#

当$S$由$z = f(x, y)$给出，取外法线指向$z$轴正向，则

• 若$S$投影到$yz$面，$x = x(y, z)$，则

• 若$S$投影到$xz$面，$y = y(x, z)$，则

证明： 参数化曲面：

$$\vec{r}(x, y) = (x, y, f(x, y))$$

计算面积元向量：

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial x} = (1, 0, f_x) \\ \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} = (0, 1, f_y)$$

叉积为

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & f_x \\ 0 & 1 & f_y \end{vmatrix} = (-f_x, -f_y, 1)$$

所以面积微元向量为

$$\mathrm{d}\vec{S} = (-f_x, -f_y, 1)\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

代入曲面积分：

$$\iint_S \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{D_{xy}} \vec{F}(x, y, f(x, y)) \cdot (-f_x, -f_y, 1)\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ = \iint_{D_{xy}} \left[ -P f_x - Q f_y + R \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

这就是投影到$xy$平面的投影法。

（3）隐函数型#

若$S$由$F(x, y, z) = 0$描述，在$F_z \ne 0$时，可用$z$作$x, y$的函数。则

其中$z$由$F(x, y, z) = 0$确定。 或向量形式：

证明：

隐函数 $F(x, y, z) = 0$ 的法向量

$$\vec{n}_0 = (F_x, F_y, F_z)$$

外法线方向单位向量

$$\vec{n} = \frac{(F_x, F_y, F_z)}{\sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}}$$

面积元的模

$$\mathrm{d}S = \frac{ \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2} }{ |F_z| } \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

面积元向量

$$\mathrm{d}\vec{S} = \vec{n}\, \mathrm{d}S = \frac{ (F_x, F_y, F_z) }{ |F_z| } \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

方向取决于曲面定向，通常取$F_z > 0$为正向。 向量场与面积元点积

$$\vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \vec{F}(x, y, z) \cdot \frac{ (F_x, F_y, F_z) }{ |F_z| } \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

若只关心积分值，可以去掉模号（由定向保证）：

$$= \vec{F}(x, y, z) \cdot \frac{ (F_x, F_y, F_z) }{ F_z } \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

即

$$= \left[ P(x, y, z) \frac{F_x}{F_z} + Q(x, y, z) \frac{F_y}{F_z} + R(x, y, z) \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

但面积元向量与$xy$平面单位法向量$(0, 0, 1)$方向一致时，$F_z > 0$，因此对于外法线指向$z$轴正向时，$F_z > 0$，有

$$\iint_S \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{D_{xy}} \left[ -P(x, y, z) \frac{F_x}{F_z} - Q(x, y, z) \frac{F_y}{F_z} + R(x, y, z) \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

注：这里的负号来自隐函数偏导与$z=f(x, y)$下的关系。

下面研究一下负号的来源

对$F(x, y, z(x, y)) = 0$，有

$$F_x + F_z \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \implies \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} \\ F_y + F_z \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \implies \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

代入显式曲面公式

$$\iint_{D_{xy}} \left[ -P \frac{\partial z}{\partial x} - Q \frac{\partial z}{\partial y} + R \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

得

$$\iint_{D_{xy}} \left[ -P \left( -\frac{F_x}{F_z} \right ) - Q \left( -\frac{F_y}{F_z} \right ) + R \right ] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \iint_{D_{xy}} \left[ P \frac{F_x}{F_z} + Q \frac{F_y}{F_z} + R \right ] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

但通常投影法公式写为负号形式，以保持与法向一致，故：

$$\iint_S \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{D_{xy}} \left[ -P \frac{F_x}{F_z} - Q \frac{F_y}{F_z} + R \right ] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

（4）立体角法（球面）#

对于球面$S$，$\mathrm{d}\mathbf{S} = \mathbf{n}\,\mathrm{d}S$，如单位球面$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$，可直接代入参数化形式。

（5）柱面、球面参数化#

• 球面：

• 柱面：

其中$\mathbf{n}$为柱面外法向。

（1）显式曲面 $z=f(x, y)$#

• 向上（$z$正向）： $$\iint_{D_{xy}} [ -P f_x - Q f_y + R ]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$
• 向下（$z$负向）： $$\iint_{D_{xy}} [ P f_x + Q f_y - R ]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

（2）隐函数 $F(x, y, z) = 0$#

• $F_z > 0$（与$z$正方向一致）： $$\iint_{D_{xy}} [ -P \frac{F_x}{F_z} - Q \frac{F_y}{F_z} + R ]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$
• $F_z < 0$（与$z$负方向一致）： $$\iint_{D_{xy}} [ P \frac{F_x}{F_z} + Q \frac{F_y}{F_z} - R ]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$ 或者直接记为（$n$为面积元向量，与投影面法向夹角为$\theta$）：