1、$\chi^2$ 分布的定义#

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 为独立同分布的随机变量，且都服从标准正态分布$N(0,1)$。记：

则称$Y$服从自由度为$n$的$\chi^2$分布，记为$Y\sim\chi^2(n)$，其中自由度表示上式中独立变量的个数。$\chi^2$分布的密度函数为：

$\chi^2$分布的自由度 $n$ 决定了其密度函数的形状。

2、$\chi^2$ 分布的性质#

1. $\chi^2$ 分布可加性: 设 $Y_{1} \sim \chi^{2}(m), Y_{2} \sim \chi^{2}(n), m, n \geqslant 1$，且两者相互独立, 则 $Y_{1}+Y_{2} \sim \chi^{2}(m+n)$。

证明：根据 χ² 分布的定义, 我们可以把 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 分别表示为：

$$Y_{1}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots+X_{m}^{2}$$ $$Y_{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots+Z_{n}^{2}$$

其中 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{m}$ 和 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 都服从标准正态分布 $N(0,1)$, $X_{i}(i=1,2,\cdots,m)$ 相互独立，$Z_{j}(j=1,2,\cdots,n)$ 相互独立，且 $(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{m})$ 与 $(Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n})$ 相互独立。根据 $\chi^2$ 分布的定义：

$$Y_{1}+Y_{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots+X_{m}^{2}+Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots+Z_{n}^{2} \sim \chi^{2}(m+n)$$

2. $\chi^2$ 分布的数学期望和方差：设 $Y \sim \chi^{2}(n)$，则：

即 $\chi^2$ 分布的数学期望等于自由度，而方差等于自由度的 $2$ 倍。

证明：设 $Y \sim \chi^{2}(n)$, 可以表示为 $Y=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}$, 其中 $X_{i} \sim N(0,1)$ 且相互独立，因而 $E(X_{i}^{2})=1, i=1,2,\cdots,n$，从而：

$$E(Y)=E\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}\right)=n$$

由分部积分可以得出 $E(X_{i}^{4})=3$，于是：

$$\operatorname{Var}(X_i^2) = E(X_i^4) - (E(X_i^2))^2 = 3 - 1 = 2$$

由 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的独立性，有：

$$\operatorname{Var}(Y) = \operatorname{Var}(X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2) = \sum_{i=1}^{n} \operatorname{Var}(X_i^2) = 2n$$

3. $\chi^2$ 分布分位数：对于给定的正数 $\alpha, 0 < \alpha < 1$，称满足条件：

的 $\chi_{\alpha}^2(n)$ 为 $\chi^2(n)$ 分布的上 (侧) $\alpha$ 分位数。

费希尔 (Fisher) 曾证明，当$n$充分大时，$\chi^2$分布的上$\alpha$分位数可以有如下的近似：

其中 $z_\alpha$ 是标准正态分布的上 $\alpha$ 分位数。通常当 $n>40$ 时，利用这个关系式的近似效果较好，可利用标准正态分布的上 $\alpha$ 分位数，并结合上述近似式来得到 $\chi^2(n)$ 分布的上 $\alpha$ 分位数的近似值。

1、$t$ 分布的定义#

设 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，$Y$ 服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则随机变量

服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记为 $t \sim t(n)$。$t$分布又称为学生氏分布。$t$ 分布的概率密度函数为：

2、$t$ 分布的性质#

1. $t$ 分布是对称分布，关于 $x=0$ 对称。

2. $t$ 分布的期望为 $0$，方差为 $\frac{n}{n-2}$（$n>2$ 时）。

3. 当自由度 $n$ 趋于无穷大时，$t$ 分布趋于标准正态分布。

4. $t$ 分布分位数：对于给定的正数 $\alpha,0<\alpha<1$，称满足条件

   $$P\{t>t_{\alpha}(n)\}=\int_{t_{\alpha}(n)}^{+\infty}f_{t}(x)\mathrm{d}x=\alpha$$

   的 $t_\alpha(n)$为 $t(n)$ 分布的上（侧）$\alpha$ 分位数。

1、$F$ 分布的定义#

设 $U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(n)$，且 $U$ 与 $V$ 相互独立，则随机变量

服从自由度为 $m$ 和 $n$ 的 $F$ 分布，记为 $F \sim F(m, n)$。$F$ 分布的概率密度函数为：

其中 $\mathrm{B}(\cdot,\cdot)$ 为 $\mathrm{Beta}$ 函数。或者把概率密度函数写为：

2、$F$ 分布的性质#

1. 若$F\sim F(n_1,n_2)$，则$\frac1F\sim F(n_2,n_1)$。

2. 若$X\sim t(n)$，则$X^2\sim F(1,n)$。

3. $F$分布分位数：对于给定的正数 $\alpha,0<\alpha<1$，称满足条件

   $$P\{F>F_\alpha(n_1,n_2)\}=\int_{F_\alpha(n_1,n_2)}^{+\infty}f_F(x)\mathrm{d}x=\alpha$$

   的 $F_\alpha(n_1,n_2)$为 $F(n_1,n_2)$ 分布的上（侧）$\alpha$ 分位数。