1、勒让德多项式#

当$m=0$时，勒让德方程为：

使用之前的方法，求出对应级数退化的多项式，将他们分别乘以适当的系数，使得最高次幂项$x^l$的系数为：

反用系数递推公式，改写为：

就可以把系数一一计算出来，得：

将$n$记为$k$，求得$l$阶勒让德多项式的具体表达式：

其中$[l/2]$表示不大于${l/2}$的最大整数。由此写出前几个勒让德多项式：

现在计算$P_l(0)$，这应当等于多项式$P_l(x)$的常数项，如$l=2n+1$，则$P_{2n+1}(x)$只含奇次幂项，不含常数项，所以：

如果$l=2n$，则$P_{2n}(x)$含有常数项，即：

2、勒让德多项式的微分表示#

用二项式定理把$(x^2-1)^l$展开：

把上式求导$l$次，凡是幂次$2l-2k$低于$l$的项在求导过程中都变成$0$，所以只需要保留幂次$2l-2k\ge$的项，即$k\le \frac{l}2$，这样：

于是我们得到了勒让德多项式的微分形式：

该公式叫做罗德里格斯公式。

3、勒让德多项式的积分形式#

利用高阶导数的柯西公式，微分表示可以改写为复变函数上的环路积分：

$C$为$z$平面上围绕$z=x$点的任意闭合回路。该公式叫做施列夫利积分。该积分还可以进一步化为定积分形式，取$C$为圆周，圆心在$z=x$，半径为$\sqrt{|x^2-1|}$，在$C$上，$z-x=\sqrt{x^2-1}e^{\mathrm{i}\psi}$，$\mathrm{d}z=\mathrm{i}\sqrt{x^2-1}e^{\mathrm{i}\psi}\mathrm{d}\psi$，代入到上式，得：

化简得到：

这叫做拉普拉斯积分，由此可以看出：

即：

4、勒让德多项式的正交关系#

作为施图姆-刘维尔本征值问题的正交关系特例，不同阶的勒让德多项式在$(-1,+1)$上正交，即：

如果从$x$回到原来的变数$\theta$，则：

5、勒让德多项式的模#

如果前一部分中$k=l$，则可以计算其模$N_l$：

将上式的$P_l(x)$使用微分表示，并使用分部积分：

这里的$(x^2-1)^l$是$2l$次多项式，它的$2l$阶导数也就是最高幂项$x^{2l}$的二阶导数，即$(2l)!$，于是：

分部积分，得到：

观察分部积分过程，每次分部积分都会使$(x-1)$的幂次降低一次，$(x+1)$的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子，共操作$l$次，得到勒让德多项式的模：

6、广义傅里叶级数#

根据上面的证明，可知勒让德多项式$P_l(x)$是完备的，可以作为广义傅里叶级数展开的基，定义在$x$的区间$[-1,+1]$上的函数$f(x)$或者定义在$\theta$区间$[0,\pi]$上的函数$f(\theta)$都可以展开为广义傅里叶级数。

或：

7、拉普拉斯方程的轴对称定解问题#

拉普拉斯方程的定解问题，如果有对称轴，自然就取这对称轴为球坐标的极轴，取这对称轴为球坐标的极轴，由此问题与$\varphi$无关，只需要用$m=0$的轴对称球函数。如果定解问题只在半球区域内有意义，则应当根据边界条件类型，选择使用奇延拓或者偶延拓，然后使用勒让德方法。

8、母函数#

在单位球北极放置一个$4\pi\varepsilon_0$单位的正电荷，则在球内任意一点$M$的静电势为：

静电势$\frac1d$遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴作为对称轴，因此应当满足拉普拉斯方程一般解的形式，即：

研究球心处的电势，应该有限，所以$B_l=0$，故：

可以利用广义傅里叶方法展开，更简单地，可以令$\theta=0$：

上式左边使用泰勒展开，配凑系数相等得到$A_l=1$，于是：

同样的方法，计算出球外的静电势，结果为：

于是，$\frac{1}{\sqrt{1-2r\cos\theta+r^2}}$被叫做勒让德多项式的母函数（或者是生成函数），用半径$R$的球代替单位球，则：

9、递推公式#

母函数可以推导出勒让德多项式的递推公式，将上式改写为：

两边对$r$求导，并化简得：

将该写的未求导的公式代入到求导后的公式，得：

观察两边$r^k$的系数，得到：

利用这个式子可以从$P_{k-1}(x),P_k(x)$推导出$P_{k+1}$，这个称为勒让德多项式的递推公式。如果将改写的式子对$x$求导，采取类似的方法化简，比较系数后，可以得到另外一个递推公式：

类似的递推公式还有：

1、连带勒让德函数#

$l$阶连带勒让德函数的表达式为：

$x_0=0$是连带勒让德方程的常点，可以通过一般级数解法求得级数解，但是递推公式极为复杂，难以求出系数的一般形式。所以考虑其他方法，作变换：

在这个这个变换下：

将上面的式子代入到连带勒让德方程中，化为$y(x)$的微分方程：

上式可以使用级数解法直接求解，但是还有更简单的方法。观察上面的微分方程，就是勒让德方程逐项求导$m$次后得到的方程。

证明：

上面的微分方程是勒让德方程逐项求导$m$次后得到的方程。根据莱布尼茨求导法则，有：

$$\begin{aligned}(uv)^{(m)}&=uv^{(m)}+\frac{m}{1!}u^{\prime}v^{(m-1)}+\frac{m(m-1)}{2!}u^{\prime\prime}v^{(m-2)}+\cdots+\\&+\frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{k!}u^{(k)}v^{(m-k)}+\cdots\\&+u^{(m)}v,\end{aligned}$$

将勒让德方程：

$$(1-x^2)P^{\prime\prime}-2xP^{\prime}+l(l+1)P=0$$

对$x$求导$m$次，结果为：

$$\left[(1-x^2)P^{(m+2)}-m2xP^{(m+1)}-\frac{m(m-1)}{2} 2P^{(m)} \right]-2[xP^{(m+1)}+mP^{(m)}]+l(l+1)P^{(m)}=0$$

化简得：

$$(1-x^2){P^{(m)}}^{\prime\prime}-2(m+1)x{P^{(m)}}^{\prime}+[l(l+1)-m(m+1)]{P^{(m)}}=0$$

即为$l$阶连带勒让德方程。其中：

$$y(x)=P^{(m)}(x)$$

前面已经学过勒让德方程和自然边界条件（在$x=\pm1$有限）构成本征值问题，本征值为$l(l+1)$，而$l$为整数，本征函数则是勒让德多项式$P_l(x)$，那么$l$阶连带勒让德方程与自然边界条件也构成本征值问题，本征值为$l(l+1)$，本征函数为$P_l(x)$的$m$阶导数，即：

带回原连带勒让德方程，得到：

其中$P_l^m(x)$为连带勒让德函数。由于$P_l(x)$为$l$次多项式，最多只能求导$l$次，所以$l\ge m$，当$m=0$时，方程和结果均退化为普通的$l$阶勒让德方程和勒让德多项式。

2、连带勒让德函数的微分表示#

由勒让德多项式的微分表示可以得到连带勒让德函数的微分表示：

这也叫做罗德里格斯公式，观察公式可知，当$l-m$为偶数时，$P_l^m(x)$为偶函数，否则为奇函数。

在之前的推导中，一直是把$m$看作是正整数，但是在连带勒让德方程中只出现了$m^2$，所以可以将$-m$代入，连带勒让德方程仍然不变，此时得到连带勒让德函数为：

这也是连带勒让德方程的解且满足自然边界条件，但是他实际上与$P_l^m$是相关的，他们只相差一个常数，将两者作比，得到：

3、连带勒让德函数的积分表示#

按照柯西公式，微分表达式可以表示成环路积分：

$C$为$z$平面上围绕$z=x$的任意闭合回路，这也叫作施列夫利积分。同样地，这也能进一步表示为定积分，取$C$为圆周，圆心在$z=x$，半径为$\sqrt{|x^2-1|}$，在$C$上，$z-x=\sqrt{x^2-1}e^{\mathrm{i}\psi}$，$\mathrm{d}z=\mathrm{i}\sqrt{x^2-1}e^{\mathrm{i}\psi}\mathrm{d}\psi$，代入到上式，得：

这也叫作拉普拉斯积分。

4、连带勒让德函数的正交关系#

作为施图姆-刘维尔本征值问题的正交关系特例，不同阶的勒让德多项式在$(-1,+1)$上正交，即：

如果从$x$回到原来的变数$\theta$，则：

5、连带勒让德函数的模#

计算连带勒让德函数的模时，可以利用$P_l^m(x)$与$P_l^{-m}(x)$的关系，有：

仿照勒让德多项式计算模的方法，进行连续地分部积分，得到：

6、广义傅里叶级数#

根据上面的证明，可知勒让德函数$P_l^m(x)$是完备的，可以作为广义傅里叶级数展开的基，定义在$x$的区间$[-1,+1]$上的函数$f(x)$或者定义在$\theta$区间$[0,\pi]$上的函数$f(\theta)$都可以展开为广义傅里叶级数。

或：

7、连带勒让德函数的递推公式#

连带勒让德函数的基本递推公式有四个：

1、球函数#

球函数方程的解叫做球函数：

线性独立的$l$阶球函数共有$2l+1$个，这是因为对于$m=0$，有一个球函数$P_l(x)$，当$m\neq0$，时各有两个球函数$P_l^m(x)\cos m\varphi,P_l^m(x)\sin m\varphi$。根据欧拉公式，可以组合为：

2、球函数的正交关系#

球函数中的任意两个在球面$S$上（即$0\le\theta\le\pi,0\le\varphi\le 2\pi$）正交：

3、球函数的模#

使用三角函数表示的球函数进行积分：

前一个积分值已经得出，后一个积分不会积建议重修微积分。代入得到球函数的模：

其中$\delta_m=\begin{cases}2,\quad m=0\\1,\quad m=1,2,3,\cdots \end{cases}$。

因为：

所以使用复数形式的球函数计算模的平方：

得到：

4、球面上的函数的广义傅里叶级数#

定义在球面$S(0\le\theta\le\pi,0\le\varphi\le2\pi)$上的函数$f(\theta,\varphi)$可以用球函数展开成二重广义傅里叶级数。现在以三角函数形式的球函数为基，把函数$f$进行展开：

这里$\theta$作为参数出现在傅里叶系数中：

然后以$P_l^m(\cos \theta)$为基，继续把$A_m(\theta),B_m(\theta)$展开，有：

然后利用广义傅里叶展开，得到：

带回到$f(\theta,\varphi)$在球面$S$上的展开式：

这里两个求和符号可以交换。如果想要展开复数形式的广义傅里叶级数，则有：

其中系数$C_l^m$的计算公式为：

5、正交归一化的球函数#

物理学常常使用正交归一化的球函数，定义为：

在这个正交归一化的球函数下，其正交归一，球面上的函数$f(\theta,\varphi)$可以使用正交归一球函数展开，即：

广义傅里叶系数$C_{lm}$为：