光调制法测量光速 - 老官童鞋gogo的博客

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光调制法测量光速

2025-09-16

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一、实验原理概述#

本实验采用调制法测量光速。利用周期性调制的光信号，通过接收端与参考信号的时间延迟或相位差，结合信号传播路径的已知长度，精确计算光速 $c$ 。

一个强度依赖时间变化的周期性光信号满足：

I = I_0 + \Delta I_0 \cos(2\pi \nu t)

其中：

将光信号转换为电学电压信号，记为：

U = A \cos(2\pi \nu t)

其中 $A$ 代表电压信号幅值。

假设接收器距离光源 $\Delta s$ ，光速为 $c$ ，则信号传播时间延迟为：

\Delta t = \frac{\Delta s}{c}

参考电信号信号（与光的发射端除光信号对应）：

U_1 = U_1 \cos(2\pi \nu t)

接收信号（经过距离 $L$ 后的测量结果）：

U_2 = U_2 \cos\left[2\pi \nu (t - \Delta t)\right]

化简后，得到：

U_2 = U_2 \cos\left(2\pi \nu t - 2\pi \nu \Delta t\right)

两信号之间的相位差为：

\Delta \varphi = 2\pi \nu \Delta t = 2\pi \nu \frac{L}{c}

由此可解得光速 $c$ ：

c = \frac{2\pi \nu \Delta s}{\Delta \varphi}

当调制信号频率非常高时，即使很短的路径变化 $\Delta s$ 也能引起明显的相位变化，便于观测。例如，实验中调制信号频率 $\nu$ 取 $100\,\mathrm{MHz}$ ，假定光速 $c=3 \times 10^8\,\mathrm{m/s}$ ，则

\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3 \times 10^8}{1 \times 10^8} = 3\,\mathrm{m}

即 $\Delta s = 3\,\mathrm{m}$ 时，相位将变化 $2\pi$ ，与一个周期的相位变化一致。

由于普通示波器无法直接分辨接收信号与参考信号的微小相位差，实验采用差频法。将接收信号与一个频率略低的信号（例如 $99.545\,\mathrm{MHz}$ ）混频，经过解调、滤波，输出信号即为两输入信号的差频分量。

调制信号混频后的输出信号：

U = A' \cos\left[2\pi \nu t - \Delta\varphi \right] \cdot \cos\left(2\pi \nu' t\right)

利用三角恒等式

\cos A \cos B = \frac{1}{2} \left[\cos(A+B) + \cos(A-B)\right]

展开：

U = \frac{A'}{2} \left\{ \cos\left[2\pi(\nu + \nu')t - \Delta\varphi\right] + \cos\left[2\pi(\nu - \nu')t - \Delta\varphi\right] \right\}

高频信号成分可被低频滤波器滤去，只保留低频分量（差频信号）：

U = A'' \cos\left[2\pi (\nu - \nu') t - \Delta\varphi \right]

$\Delta\varphi$ 不随着混频而变化，但对应于接收信号在路径中多走一段 $\Delta s$ 产生的时间延迟 $\Delta t'$ 可以从示波器上读得。差频信号一个周期 $T'$ ， $T'$ 对应于调制信号的周期 $T$ ，有

\Delta\varphi = 2\pi \cdot \frac{\Delta t'}{T'}

而调制信号的周期 $T$ 与差频周期 $T'$ 的比值为 $\frac{T}{T'} = \frac{\nu'}{\nu-\nu'}$ ，因此光信号的实际传输时间 $\Delta t$ 为：

\Delta t = \frac{\Delta t'}{T'} \cdot T = \frac{\Delta t'}{T'} \cdot \frac{1}{\nu}

由于 $\Delta s = c \Delta t$ ，代入上式，得

c = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\Delta s}{\Delta t'} \cdot \frac{T'}{T}

记 $T = \frac{1}{\nu}$ ， $T' = \frac{1}{\nu - \nu'}$ ，则

c = \frac{\Delta s}{\Delta t'} \cdot \frac{\frac{1}{\nu - \nu'}}{\frac{1}{\nu}} = \frac{\Delta s}{\Delta t'} \cdot \frac{\nu}{\nu - \nu'}

光调制法测量光速

作者

老官童鞋gogo

发布于

2025-09-16

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