狭义相对论 - 老官童鞋gogo的博客

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狭义相对论

2025-05-17

物理

/

普通物理学

相对论

一、经典物理的困境#

在19世纪末，经典物理（牛顿力学、麦克斯韦电磁学）面临一系列实验事实的挑战。狭义相对论正是在这些困境下应运而生，并彻底改变了我们对时空的看法。

1、关键实验现象与问题#

时间膨胀实验
- 观测：静止 $\pi$ 介子的平均寿命为 $26.0$ 纳秒（ $\mathrm{ns}$ ），而以 $0.913$ 倍光速（ $0.913c$ ）运动的 $\pi$ 介子寿命扩展为 $63.7\mathrm{ns}$ 。
- 意义：表明时间间隔并非绝对；牛顿力学无法解释这一现象，因为其认为“时间是绝对的”。
长度收缩实验
- 观测：实验室测得高速 $\pi$ 介子的运动距离为 $17.4$ 米，但与 $\pi$ 介子一起运动的观测者测得的距离只有 $7.1$ 米。
- 意义：揭示了空间长度的相对性；经典物理认为空间坐标是绝对的，与实验观测不符。
超光速导致因果律矛盾
- 假设存在超越光速的信号，则某些事件在部分观察者看来会出现“效果早于原因”的现象，违背因果律。
能量守恒的相对论问题
- 如电子和正电子湮灭后产生辐射 $e^+ + e^- \rightarrow \text{辐射}$ ，初态仅有静止质量能，但产生了光子的能量。经典力学无法解释能量守恒，必须引入质能关系。

二、狭义相对论的基本公设#

1905年，爱因斯坦提出两条基本公设：

相对性原理
- 所有惯性参考系中的物理定律具有相同的数学形式。
光速不变原理
- 在任何惯性系中，真空中的光速 $c$ 总是相同，不依赖于光源的运动状态。

1、实验验证#

1964年CERN实验：测量 $\pi^0$ 介子衰变产物 $\gamma$ 射线的速度，发现与光速 $c=2.9979\times 10^8 \mathrm{m/s}$ 一致。
高能电子加速实验：无论动能多高，粒子速度都无法超过 $c$ 。

三、爱因斯坦公设的推论#

1、时间的相对性——时间膨胀#

（1）光钟模型的思想实验#

静止光钟：光在两个镜子之间垂直往返，行程为 $2L_0$ ，用时间 $\Delta t_0 = 2L_0/c$ 。
运动中的光钟：在速度为 $u$ 的惯性系中，光做斜向往返运动。

（2）时间膨胀公式：#

\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}} = \gamma \Delta t_0

其中 $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$ ， $\beta = u/c$ 。

证明：设光钟相对于观测者以速度 $u$ 作直线运动。一次往返，光程为

2L = 2\sqrt{L_0^2 + (u\Delta t/2)^2}

光行进时间

\Delta t = \frac{2L}{c}

将 $L$ 代入，整理得

\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}}

故运动系统的时间间隔大于静止系统。

（3）实验验证：#

$\pi$ 介子寿命实验：

\Delta t = \frac{26.0\ \text{ns}}{\sqrt{1-(0.913)^2}} = 63.7\ \text{ns}

2、长度的相对性——长度收缩#

（1）长度收缩公式：#

L = L_0\sqrt{1-u^2/c^2} = L_0/\gamma

证明：选取运动方向上的一根棒，其静止长度为 $L_0$ 。在地面系 $S$ 中要测量其运动长度 $L$ ，需在同一时刻测量棒的两端。根据洛伦兹变换，两个同时事件在棒系（ $S'$ ）非同时，因此 $L < L_0$ ：

L = L_0\sqrt{1-u^2/c^2}

（2）实验验证：#

L = 17.4\ \text{m} \cdot \sqrt{1-(0.913)^2} = 7.1\ \text{m}

3、速度的相对性——速度叠加公式#

（1）相对论速度叠加公式：#

v = \frac{v_0 + u}{1 + \frac{v_0 u}{c^2}}

证明：设某物体在 $S'$ 系速度为 $v_0$ ， $S'$ 系相对于 $S$ 以 $u$ 运动，则在 $S$ 中速度为

v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}x'/\mathrm{d}t' + u}{1 + (u \, \mathrm{d}x'/c^2 \mathrm{d}t')}

代入 $x'(t'), t'(t)$ 的洛伦兹变换推导得以上式。

（2）特性#

$v_0 = c \Rightarrow v = c$ ，光速恒为 $c$
$0.6c + 0.8c = 0.88c$ ，速度之和不会超过 $c$

四、洛伦兹变换#

1、洛伦兹变换方程#

用于描述两个惯性参考系之间空间和时间坐标的转化，其中 $S'$ 系相对 $S$ 系以速度 $u$ 沿 $x$ 轴方向运动：

\left\{ \begin{aligned} x' &= \gamma(x - ut) \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= \gamma\left(t - \frac{ux}{c^2}\right) \end{aligned} \right.

3、逆变换：#

\left\{ \begin{aligned} x &= \gamma(x' + ut') \\ t &= \gamma\left(t' + \frac{ux'}{c^2}\right) \end{aligned} \right.

3、间隔变换（适用于坐标间的差分）：#

\Delta x' = \gamma(\Delta x - u\Delta t) \\ \Delta t' = \gamma\left(\Delta t - \frac{u\Delta x}{c^2}\right)

参数定义：

速度无量纲化： $\beta = u/c$
洛伦兹因子： $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$

证明：依据光速不变和相对性原理，分析光脉冲在两个系中的传播速度，推导上述关系。

五、时空坐标的测量方法#

1、同步时钟的方法#

在空间各点安装预置延时 $t = L/c$ 的时钟。
原点发出光信号，作为所有时钟的启动信号。
光信号依次到达各点，启动对应时钟，实现时钟同步。

2、关键认识：#

测量任何事件的时空坐标 $(x, y, z, t)$ 时，必须借助这样同步的钟表。只考虑空间或仅考虑时间都不够，必须视为时空整体。

六、速度变换的一般形式#

对于三维速度分量，有：

\begin{cases} v_x' = \frac{v_x - u}{1 - uv_x/c^2} \\ v_y' = \frac{v_y}{\gamma(1 - uv_x/c^2)} \\ v_z' = \frac{v_z}{\gamma(1 - uv_x/c^2)} \end{cases}

证明：由

v_x' = \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}\,,\quad x'=\gamma(x-ut)\,,\quad t'=\gamma(t-ux/c^2)

计算导数得上式。

光速不变的验证：如令 $v_x = c$ ，则 $v_x' = c$ ，任何惯性系中光速不变，符合第二公设。

七、洛伦兹变换的推论#

1、同时性的相对性#

在 $S$ 系中两个事件如果是同时的（ $\Delta t=0$ ），在 $S'$ 系中则其时刻一般为

\Delta t' = -\gamma \frac{u\Delta x}{c^2} \neq 0

即同时性具有相对性。

2、相对论多普勒效应#

频率转化关系只与相对速度有关（本节略去推导）。

3、双生子悖论#

一名航天员高速旅行再返回，一名留在地球。航天员比地球人年轻，原因是旅行者存在加速过程，两个世界线不等价。实验证明：环球飞行的原子钟实测有微小效应。

4、长度收缩测量注意#

必须在同一惯性系的同一时刻测两端坐标：

L = L_0/\gamma

而非简单观测自身“变短”。

八、相对论动量#

1、定义#

\vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma m\vec{v}

2、证明#

动量守恒要求两惯性系的定律形式一致，同时要与经典动量在低速下收敛。唯一合理选择即为上式（见Poincaré修正定理）。

3、实验支持#

$\frac{p}{mv}$ 与速度 $v$ 的关系由实验数据（如高能电子回旋加速器）精确符合该公式预言。

九、相对论能量与质能关系#

1、动能公式#

K = \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2

证明：

功与动能关系：

\mathrm{d}K = \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{s} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{d}\vec{s}

积分即得上述表达式。

低速展开（ $v \ll c$ ）：

K \approx \frac{1}{2}mv^2 + \frac{3}{8}\frac{mv^4}{c^2} + \cdots

$v$ 趋近光速时，动能 $K\rightarrow\infty$ 。

2、质能关系#

（1）静能#

E_0 = mc^2

（2）总能量#

E = K + E_0 = \gamma mc^2

（3）能量-动量关系#

E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2

证明：由动量和能量定义通过代数运算消元 $v$ 得上式。

3、应用举例#

正负电子湮灭 $\to$ 辐射:
$2m_e c^2\rightarrow \text{光子能量}$
太阳质量亏损:
$\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}\,,\quad \Delta m \sim 4\times10^9 \mathrm{kg/s}$

十、狭义相对论的现代意义#

理论基础地位
- 狭义相对论为物理学所有领域（如粒子、原子、天体等）提供了统一的时空框架。
- 至今所有精密实验均与其预言吻合。
公设的合理性
- 第一公设是对牛顿力学惯性系等价原理的自然推广。
- 第二公设由“最大信号速度存在”的实验必然性推出。
时空观变革
- 放弃“绝对时空”观念，使物理定律获得更强普适性。
- 时间和长度的变化不是事物本质变化，而是运动状态对测量结果的影响。
统一性
- 将时间与空间统一为“四维时空”连续体。
- 质能等价 $E=mc^2$ 标志着物质与能量的统一。
- 为追求更高层次物理统一（如广义相对论、量子场论）树立了典范。