1、留数#

如果复变函数$f(z)$有一个孤立奇点$z_{0}$，$f(z)$在$z_{0}$的去心邻域上是解析。根据洛朗级数展开定理，在以$z_{0}$为圆心、内半径足够小的圆环域上，$f(z)$可以展为洛朗级数：

在洛朗级数的收敛环中取任意一个包围$z_{0}$的小回路$l_{0}$，计算回路积分：

根据这个例子，可得：

所以可以得到结论，对于任意包围了$l_0$的简单封闭曲线$l$，如果区域内没有其他的奇点，那么，据柯西定理：

从在复变函数的积分来看，洛朗级数展开中系数$a_{-1}$有特别重要的地位。$\alpha_{-1}$在复变函数中被称为

函数$f( z)$在点$z_0$的留数（或残数），通常记作$\mathrm{Res} \:f( z_0)$，$\mathrm{Res}\:f(z_0)=a_{-1}$。

2、柯西留数定理#

设函数$f(z)$在回路 $l$ 所围区域$B$上除有限个孤立奇点$b_1,b_2,...,b_n$外解析，在闭区域$B$上除这些奇点外连续，则：

也就是说：$f$沿$l$的路径积分，等于$2\pi\mathrm{i}$乘上$f$在$l$内部所有孤立奇点留数的总和。

证明：在每个奇点附近作只包含该奇点的小回路：$l_{1},l_{2}…,l_{n}$。每个小回路只包含一个奇点，所以：

$$\oint_{l_{j}} f(z)\mathrm{d}z = 2\pi \mathrm{i} \mathrm{Res}\:f(b_{j})$$

函数在小回路外的多连通区域中解析，按照多连通区域的柯西积分定理：

$$\begin{aligned} &\oint_lf(z)\mathrm{d}z=\sum_{j=1}^n\oint_{l_j}f(z)\mathrm{d}z\\\Rightarrow&\oint_lf(z)\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\sum_{j=1}^n\mathrm{Res~f}(b_j) \end{aligned}$$

3、无穷远处的留数#

无穷远处的留数：如果无穷远处$\infty$是$f(z)$的孤立奇点，我们可以找到足够大的回路，使得函数在回路外的区域内没有有限的奇点，$f(z)$在无穷远的邻域是解析，可以展开为洛朗级数：

在回路正向（奇点为无穷远，积分区域在外，这里是顺时针方向）的积分为：

定义无穷远处的留数：

所以有（积分区域在内，方向为逆时针方向）：

这与有限元点的留数定理结果一致。使用代换$t=\frac{1}{z}$回代即可证明。

于是可以得出一个定理：函数$f(z)$在整个复平面上只有有限个奇点$z_1,z_2,...,z_N$，除此外全部解析，而且无穷远处$\infty$ 也是$f(z)$的孤立奇点，那么函数$f(z)$在所有奇点（包括无穷远处）处的留数之和为零。即：

4、留数计算#

5、极点次数判断定理#

极点次数的判断定理：$z_{0}$为$f(z)$处的孤立奇点，那么$z_{0}$为$f(z)$处的$m(m\in\mathbb{N})$极级点的充要条件是存在一个在$z_{0}$处非零的解析函数$P(z)$，$P(z_{0})\neq 0$，且在$z_{0}$的去心邻域中可以表示成$f(z)=P(z)/(z-z_{0})^{m}$。

如果$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，$z_{0}$为$P(z)$处的$m$阶零点，$z_{0}$为$Q(z)$处的$n$阶零点

1、类型一：$I=\int_0^{2\pi}R(\cos x,\sin x)\mathrm{d}x$#

作变换$z=e^\mathrm{i\theta}$，可以把 积分路径从实变函数中的$[0,2π]$，变换到复平面上的单位圆。此时有变换关系：

回代到原积分中：

根据留数定理：

也就是将$f(z)$在单位圆内的所有留数之和乘以$2\pi$。

2、类型二：$I=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm{d}x$#

为了应用柯西留数定理来求得等式右边的积分，我们人为地在复平面上构造一个如图所示的围道（封闭的路径），包括一个半圆 $C_R$ 及实轴上的一条直线。根据柯西留数定理：

在实轴上 $z=x+iy=x$，$f(z)=f(x)$，$-R\to R$ 指实轴上从 $-R$ 到 $R$ 的路径。$b_1,b_2,\cdots$ 是封闭曲线所围成的区域内的奇点。

当半径$R$ 足够大后，$f(z)$在上半平面上的所有奇点都可以包围在封闭路径之中，也就是说，上面等式中右边部分的值将固定不变，这时，如果$R\to\infty$时左边第一项积分值趋于一个固定的值（有极限），那么我们就可以求得相应的反常积分值。

下面我们讨论在何时满足$\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z=0$

• 函数$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$是有理函数，$\text{deg}Q-\text{deg}P\geq2$（$\text{deg}$ 指多项式的最高幂次），上式成立。

• 当半径$R\to\infty$时，$zf(z)\to0$（一致趋向于零），上式也成立。

证明：利用不等式：

$$\left|\int_{C_R}f(z)dz\right|\leq\int_{C_R}|f(z)||dz|=\int_{C_R}\left|\frac{P(z)}{Q(z)}\right||dz|$$

$P(z),Q(z)$是多项式当$R$足够大时：

$$|P(z)|\sim c_1|z|^{\deg P(z)} \quad |Q(z)|\sim c_2|z|^{\deg Q(z)}$$ $$\left|\int_{C_R}f(z)dz\right|\leq C\frac{1}{R}\to0$$

当半径$R\to\infty$时，$zf(z)\to0$（一致趋于零），上式也成立。

更一般地，可以推导大圆弧定理：$f(z)$在$z=\infty$的邻域内连续，$\theta_1\leq\arg(z)\leq\theta_2$，当$|z|\rightarrow\infty$时，$zf(z)$一致趋向于$K$，那么：

证明：

记$z=R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$

$$\int_{C_R}\frac{\mathrm{d}z}{z}=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\mathrm{i}\mathrm{d}\theta=\mathrm{i}\left(\theta_2-\theta_1\right)$$ $$\int_{C_{R}}f(z)\mathrm{d}z-\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)=\int_{C_{R}}f(z)\mathrm{d}z-\int_{C_{R}}\frac{K\mathrm{d}z}z=\int_{C_{R}}\frac{zf(z)-K}z\mathrm{d}z$$ $$\left|\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z-\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)\right|\leq\int_{C_R}\frac{\left|zf(z)-K\right|}{\left|z\right|}|\mathrm{d}z|$$

$R\to\infty,zf(z)\to K$ 一致趋向于$K$，$\forall\varepsilon>0,\exists M(\varepsilon)$，当$R>M,\left|zf(z)-K\right|<\varepsilon$：

$$\left|\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z-\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)\right|\leq\int_{C_R}\frac{\left|zf(z)-K\right|}{\left|z\right|}\left|\mathrm{d}z\right|\leq\varepsilon\int_{C_R}\frac{\left|\mathrm{d}z\right|}{\left|z\right|}=\varepsilon\left(\theta_2-\theta_1\right)$$

由于$\varepsilon$的任意性：

$$\lim\limits_{R\to\infty}\left|\int\limits_{C_R}f(z)\mathrm{d}z-\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)\right|=0\Rightarrow\int\limits_{C_R}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)$$

大圆弧定理得证：

$$R\to \infty , zf( z) \to 0\Rightarrow \lim _{B\to \infty }\int _Cf( z) \mathrm{d}z= 0$$

3、类型三$I=\int^{+\infty}_{-\infty}F(x)e^{\mathrm{i}mx}\mathrm{d}x$#

对于这类积分，指数函数可以利用欧拉公式分解为两部分：

所以我们可以通过计算类型三所示积分的值，取其实部或者虚部来获得上述两种实变函数的定积分。

首先我们需要使用 Jordan（约当）引理：$m>0,0≤\arg(z)\le \pi$，在上半平面内当$|z|\to\infty$时，$F(z)$ 一致地趋向于$0$，那么：

该引理的证明不做要求。

和第二类问题类似，我们需要构造一个围道，该围道由实轴和一个半圆所组成（至于半圆位于上半平面还是下半平面，需要根据$m$的值来定）

分别比较等式两边实部和虚部的值，就可以得到：

当积分表达式中的$m <0$时，我们需要在下半平面构建一个由实轴和半圆所组成的围道，此时，当半圆的半径趋向无穷大时，函数沿半圆的路径积分趋向于$0$。

4、特殊情况：实轴上有单极点（一阶极点）的情形#

如果$f(z)$在实轴上有极点，我们称上面的积分为瑕积分，假设有一个瑕点$\alpha \in [a, b]$，定义瑕积分为：

定义瑕积分的主值为：

对于上面的反常积分，我们考虑分的主值为：

当实轴上存在瑕点的时候，为了绕开瑕点处函数的奇异性，需要以瑕点为圆心，作一个足够小的圆，构造如图所示的围道。柯西留数定理对于该围道所围成的区域依旧成立。

对于函数沿外面半圆$C_{R}$的积分，依旧可以根据前面的大圆弧定理或者约当引理，当外圆的半径趋向无穷大时，相应的积分趋向于零。

对于瑕点附近的内部半圆，需要用到小圆弧定理：$f(z)$在$z=a$的去心邻域内连续，$\theta_1\leq\arg(z-a)\leq\theta_2$ ，当$(z-a)\to0$ 时，$(z-a)f(z)$一致趋向于$K$，那么：

这里$C_R$是以$z=a$为圆心$R$为半径的圆弧。

证明：

记 $z- a= R\mathrm{e} ^{\mathrm{i} \theta }$

$$\int_{C_R}\frac{\mathrm{d}z}{z-a}=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\mathrm{i}\mathrm{d}\theta=\mathrm{i}\left(\theta_2-\theta_1\right)$$ $$\int_{C_{R}}f(z)\mathrm{d}z-\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)=\int_{C_{R}}f(z)\mathrm{d}z-\int_{C_{R}}\frac{K\mathrm{d}z}{z-a}=\int_{C_{R}}\frac{(z-a)f(z)-K}{z-a}\mathrm{d}z$$ $$\left|\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z-\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)\right|\leq\int_{C_R}\frac{\left|(z-a)f(z)-K\right|}{\left|z-a\right|}\left|\mathrm{d}z\right|$$

$( z- a) f( z) \to K$ 一致趋向于$K$，$\forall\varepsilon>0,\exists\delta(\varepsilon)$，当 $R< \delta , \left | ( z- a) f( z) - K\right | < \varepsilon$：

$$\left|\int_{C_R}f(z)dz-\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)\right|\leq\int_{C_R}\frac{\left|(z-a)f(z)-K\right|}{\left|z-a\right|}\left|dz\right|$$ $$\left|\int_{C_R}f(z)dz-\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)\right|\leq\varepsilon\int_{C_R}\frac{\left|dz\right|}{\left|z-a\right|}=\varepsilon\left(\theta_2-\theta_1\right)$$

由于$\varepsilon$的任意性：

$$\lim\limits_{R\to0}\left|\int\limits_{C_R}f(z)dz-\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)\right|=0$$ $$\lim_{R\to0}\int_{C_R}f(z)dz=\mathrm{i}K(\theta_2-\theta_1)$$