1、先对 $y$ 求极限，再对 $x$ 求极限#

首先，固定 $x$，考虑变量 $y$ 的极限：

如果对于所有 $x$ 在某邻域内该极限存在，则再对 $x$ 求极限：

2、先对 $x$ 求极限，再对 $y$ 求极限#

同理，固定 $y$，先求

然后再求

这两种迭代求极限的顺序可能产生不同的结果。

1、存在性与唯一性#

• 重极限存在性:
  若重极限

  $$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)=L$$

  存在，则无论采用哪种路径趋近，都必须趋向于 $L$。

• 累次极限:
  其计算依赖于先后顺序。如果先求的极限与后求的极限分别存在，则我们可以讨论其值。但一般情况下，可能有

  $$\lim_{x\to x_0}\left(\lim_{y\to y_0} f(x,y)\right) \neq \lim_{y\to y_0}\left(\lim_{x\to x_0} f(x,y)\right).$$

2、关系定理#

通常有以下结论：

• 如果重极限存在，即 $$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)=L,$$ 那么两个累次极限均存在且有 $$\lim_{x\to x_0}\left(\lim_{y\to y_0} f(x,y)\right) = \lim_{y\to y_0}\left(\lim_{x\to x_0} f(x,y)\right) = L.$$
• 反过来，存在两个累次极限且它们相等不一定意味着重极限存在。也就是说，函数可能沿着某些特殊路径趋向于不同的值，从而使重极限不存在，即使两种迭代顺序下得到相同值。

3、典型反例#

考虑函数

可以证明：

• 对于任意固定 $x$ 或固定 $y$，累次极限均为 $0$；
• 但当沿路径 $y=kx^2$ 趋近 $(0,0)$ 时，有 $$f(x,kx^2)=\frac{k}{1+k^2},$$ 显然当 $k$ 变化时，趋近值不同，从而重极限不存在。