1. 0-1 分布（伯努利分布）#

0-1 分布是描述只有两种可能结果的单次试验的分布。设随机变量 $X$ 表示试验结果，$X = 1$ 表示“成功”，$X = 0$ 表示“失败”，则其分布列为：

其中 $p$ 是“成功”的概率，$0 < p < 1$。

2. 二项分布#

二项分布描述在 $n$ 重伯努利试验中“成功”次数的分布。设随机变量 $X$ 表示在 $n$ 次独立试验中“成功”的次数，则 $X$ 服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，记作：

其分布列为：

其中：

• $p$ 是每次试验“成功”的概率，$0 < p < 1$。

3. 超几何分布#

超几何分布描述在不放回抽样的情况下，具有特定属性的个体数量的分布。设总体中有 $N$ 个个体，其中 $a$ 个具有特定属性，随机抽取 $n$ 个个体，$X$ 表示其中具有特定属性的个体数量，则 $X$ 服从超几何分布，记作：

其分布列为：

其中：

• $C_a^k$ 表示从 $a$ 个具有特定属性的个体中选出 $k$ 个的组合数；
• $C_{N-a}^{n-k}$ 表示从 $N - a$ 个不具有特定属性的个体中选出 $n - k$ 个的组合数；
• $C_N^n$ 表示从总体 $N$ 个个体中选出 $n$ 个的组合数。

4. 几何分布#

几何分布描述在伯努利试验中首次“成功”所需的试验次数的分布。设随机变量 $X$ 表示首次“成功”发生的试验次数，则 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，记作：

其分布列为：

其中 $p$ 是每次试验“成功”的概率，$0 < p < 1$。

5. 负二项分布（帕斯卡分布）#

负二项分布描述在伯努利试验中达到指定次数“成功”所需的试验次数的分布。设随机变量 $X$ 表示第 $r$ 次“成功”发生时的试验次数，则 $X$ 服从参数为 $r$ 和 $p$ 的负二项分布，记作：

其分布列为：

其中：

• $p$ 是每次试验“成功”的概率，$0 < p < 1$。

6. 泊松分布#

泊松分布描述在单位时间或单位空间内某事件发生次数的分布。设随机变量 $X$ 表示在单位时间或单位空间内事件发生的次数，则 $X$ 服从参数为 $\lambda$（事件发生的平均速率）的泊松分布，记作：

其分布列为：

其中：

• $\lambda > 0$ 是单位时间或单位空间内事件发生的平均次数；
• $e$ 是自然对数的底数（约等于 2.71828）。

1. 均匀分布#

若连续型随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上服从均匀分布，记作 $X \sim U(a, b)$，其概率密度函数为：

2. 正态分布#

若连续型随机变量 $X$ 服从参数为 $\mu$（均值）和 $\sigma^2$（方差）的正态分布，记作 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其概率密度函数为：

特别地，若 $\mu = 0$，$\sigma^2 = 1$，记作 $X \sim N(0, 1)$，概率密度函数为：

则称连续型随机变量 $X$ 服从标准正态分布。

3. 指数分布#

若连续型随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$（率参数）的指数分布，记作 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$，其概率密度函数为：

4. Gamma 分布#

若连续型随机变量 $X$ 服从参数为 $\alpha$（形状参数）和 $\beta$（率参数）的 Gamma 分布，记作 $X \sim \Gamma(\alpha, \beta)$，其概率密度函数为：

其中 $\Gamma(\alpha)$ 定义为：

5. 二参数威布尔分布#

若连续型随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$（尺度参数）和 $k$（形状参数）的威布尔分布，记作 $X \sim \text{Weibull}(\lambda, k)$，其概率密度函数为：

6. β 分布#

若连续型随机变量 $X$ 服从参数为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的 β 分布，记作 $X \sim \beta(\alpha, \beta)$，其概率密度函数为：

其中 $B(\alpha, \beta)$ 是$\beta$函数，定义为：