（1）反交换律#

（2）分配律#

（3）标量乘法结合律#

（4）与自身叉积为零#

（1）反交换律证明#

由定义：

而

注意到：

• $b_2a_3 - b_3a_2 = -(a_2b_3 - a_3b_2)$
• $b_3a_1 - b_1a_3 = -(a_3b_1 - a_1b_3)$
• $b_1a_2 - b_2a_1 = -(a_1b_2 - a_2b_1)$

因此

（2）分配律证明#

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c})$展开：

设$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$，$\mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3)$，则

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c})$的第一个分量：

同理，其他分量展开得：

即

（3）标量乘法结合律证明#

$(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b}$

同理，

（4）与自身叉积为零证明#

$\mathbf{a} \times \mathbf{a}$：

即$\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$。

（1）反对称性#

混合积对任意两个向量交换均变号：

（2）线性性#

对任一分量线性：

对$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$同理。

（1）反对称性证明#

交换$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$：

同理，交换其他两个分量依然变号。

（2）线性性证明#

对$\mathbf{a}$分量：