牛顿第二定律#

位置矢量参数化#

质点绕圆心做半径为 $r$ 的圆周运动，角速度 $\omega$ 恒定：

速度矢量#

对 $\vec{r}(t)$ 求导：

速度大小：

方向沿切向单位向量 $\hat{u}_\phi = -\sin(\omega t)\hat{i} + \cos(\omega t)\hat{j}$。

向心加速度#

对 $\vec{v}(t)$ 求导：

表明加速度方向指向圆心，大小为：

总加速度分解#

当角速度 $\omega(t)$ 随时间变化时，加速度包含：

1. 法向加速度（向心加速度）：由速度方向变化引起

2. 切向加速度：由速度大小变化引起

加速度矢量表达式#

总加速度为法向和切向分量的矢量和：

推导过程#

1. 参数化运动
   设角速度 $\omega(t)$ 随时间变化，角加速度 $\alpha = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}$，位置矢量为：

   $$\vec{r}(t) = r\cos\theta(t)\hat{i} + r\sin\theta(t)\hat{j}$$

   其中 $\theta(t) = \int \omega(t) dt + \theta_0$。

2. 速度矢量
   对 $\vec{r}(t)$ 求导：

   $$\vec{v}(t) = -r\omega \sin\theta \hat{i} + r\omega \cos\theta \hat{j} + r \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} t \left(-\sin\theta \hat{i} + \cos\theta \hat{j}\right)$$

   第二项因 $\alpha \neq 0$ 产生切向加速度。

3. 加速度矢量
   对 $\vec{v}(t)$ 求导并化简：

   $$\vec{a}(t) = -r\omega^2 \cos\theta \hat{i} - r\omega^2 \sin\theta \hat{j} + r\alpha \left(-\sin\theta \hat{i} + \cos\theta \hat{j}\right)$$

   分解为法向和切向分量：

   $$\vec{a} = -\frac{v^2}{r} \hat{u}_r + \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \hat{u}_\phi$$

注：

• 抛体运动轨迹为抛物线，水平射程由初速度和角度决定。
• 匀速圆周运动仅有向心加速度；变速圆周运动需同时考虑切向和法向加速度。