一、函数级数与复（函）数级数#

二、幂函数#

3、幂级数的解析性#

连续函数$w$的幂级数展开为：

$$w(\zeta) = a_0 + a_1 (\zeta - z_0) + a_2 (\zeta - z_0)^2 + \cdots$$

如上图所示，考虑半径$R_1$略小于收敛半径$R$的圆：

$$C_{R_1}: |\zeta - z_0| = R_1 < R$$

对于圆内的任意一点$z$及圆上的任意点$\zeta$

$$|z - z_0| < R_1 < R, |\zeta - z_0| = R_1$$$$\frac{w(\zeta)}{\zeta - z} = \frac{a_0}{\zeta - z} + \frac{a_1 (\zeta - z_0)}{\zeta - z} + \frac{a_2 (\zeta - z_0)^2}{\zeta - z} + \cdots$$

两边沿圆周进行路径积分：

$$\frac{1}{2\pi \mathrm{i}} \oint_{C_{R_1}} \frac{w(\zeta)}{\zeta - z} \mathrm{d}\zeta = \frac{1}{2\pi \mathrm{i}} \oint_{C_{R_1}} \left( \frac{a_0}{\zeta - z} + \frac{a_1 (\zeta - z_0)}{\zeta - z} + \frac{a_2 (\zeta - z_0)^2}{\zeta - z} + ... \right) \mathrm{d}\zeta$$

根据柯西积分公式可以得到：

$$\frac1{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C_{R1}}\frac{w(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+...+a_n(z-z_0)^n+\cdots$$

也就是说，幂级数可以表示为一个连续函数的回路积分。根据柯西型积分的解析性定理，可以得到：幂级数在其收敛圆内部是一个解析函数，在收敛圆内不会出现奇点。

三、泰勒级数展开#

设$f(z)$在以$z_{0}$为圆心的圆$C_{R}:|z-z_{0}|≤R$内解析，则对圆内的任意$z$点，$f(z)$可展为幂级数：

上式成为函数以$z_0$为中心的泰勒级数。

证明：应用柯西公式：

$$f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\oint_{C_{R_{1}}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta$$

对积分函数分母进行配凑：

$$\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{(\zeta-z_{0})-(z-z_{0})}$$

得到：

$$\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{\left(\zeta-z_0\right)-\left(z-z_0\right)}=\frac{1}{\zeta-z_0}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}}$$

因为$|\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}|<1$，得到：

$$\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{\zeta-z_0}\sum_{k=0}^\infty\frac{\left(z-z_0\right)^k}{\left(\zeta-z_0\right)^k}=\sum_{k=0}^\infty\frac{\left(z-z_0\right)^k}{\left(\zeta-z_0\right)^{k+1}}$$

回代到$f(z)$中：

$$f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(z-z_{0}\right)^{k}\cdot\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C_{R_{1}}}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_{0}\right)^{k+1}}\mathrm{d}\zeta$$

由于级数是一致收敛的，积分和求和可以交换顺序，并使用高阶柯西公式，得到：

$$\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C_{R_1}}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_0\right)^{k+1}}\mathrm{d}\zeta=\frac{f^{(k)}\left(z_0\right)}{k!}$$ $$f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}\left(z_{0}\right)}{k!}\left(z-z_{0}\right)^{k}\quad\left(|z-z_{0}|<R\right)$$

多值函数在规定好单值分支后，在其解析区域内也可以做泰勒展开。

四、解析延拓#

五、洛朗级数展开#

当所研究的区域上存在函数的奇点（也就是函数不解析）时，无法展开成泰勒级数，需要考虑在去除奇点后的环域上进行展开。

对于下面的双边幂级数（同时存在正幂次项和负幂次项）：

只有两部分级数$A_N,A_P$都收敛才能保证原来级数的收敛性，对于正幂次部分，可以使用之前学过的级数判别法来求出其收敛半径$R_1$，收敛范围为：$|z-z_0|<R_0$。对于负幂次项部分，引入新的变量：$\zeta = \frac{1}{z-z_0}$：

于是可以分析其收敛半径$R_2'$，回代得到原级数的收敛半径$R_2=\frac{1}{R_2'}$（圆的外部收敛），得到其收敛范围为：$|z-z_0|>R_1$。

• 如果$R_2<R_1$，则双边区域在环$R_2<|z-z_0|<R_1$内绝对且一致收敛，其和为一解析函数，级数可逐项求导。该环域称为该双边幂级数的收敛环。
• 如果$R_2> R_1$，则该级数处处发散。

于是，我们可以得出洛朗级数定理，其中$R_o=R_1,R_i=R_2$：

设 $f(z)$ 在环形区域 $R_i < |z - z_0| < R_o$ 的内部单值解析，那么对于环形区域内任一点$z$，$f(z)$ 都可展开为如下的幂级数:

其中 $C$ 是环形区域内任意一条简单的封闭曲线，积分方向为常规逆时针。由于函数不在封闭曲线的区域内解析，与泰勒展开不同，这个系数和导数之间没有关系。所以计算相当复杂，一般会采取其他方法获取其级数形式。

证明：

证明：将外圆稍稍缩小为$C_{o}$，内圆稍稍扩大为 $C_{i}$，对于任意位于$C_{o}$和$C_{i}$所围成的区域中点$z$，应用多连通区域柯西积分公式：

$$f(z) = \frac{1}{2\pi \mathrm{i}} \oint_{C_{o}} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)} \mathrm{d}\zeta + \frac{1}{2\pi \mathrm{i}} \oint_{C_{i}} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)} \mathrm{d}\zeta$$

沿外圆 $C_{o}$： $|\zeta-z_{0}| > |z-z_{0}|$，有：

$$\begin{aligned} \frac{1}{\zeta-z} &= \frac{1}{(\zeta-z_{0})-(z-z_{0})} \\&= \frac{1}{\zeta-z_{0}} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_{0}}{\zeta-z_{0}}} \\&= \frac{1}{\zeta-z_{0}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(z-z_{0})^{k}}{(\zeta-z_{0})^{k+1}} \\&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(z-z_{0})^{k}}{(\zeta-z_{0})^{k+1}} \end{aligned}$$

沿内圆$C_i:$ $\left | \zeta - z_0\right | < \left | z- z_0\right |$，有：

$$\begin{aligned} \frac{1}{\zeta-z}&=\frac{1}{\left(\zeta-z_0\right)-\left(z-z_0\right)}\\&=-\frac{1}{z-z_0}\frac{1}{1-\frac{\zeta-z_0}{z-z_0}} \\&=-\frac{1}{z-z_{0}}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{\left(\zeta-z_{0}\right)^{l}}{\left(z-z_{0}\right)^{l}}\\&=-\sum_{l=0}^{\infty}\frac{\left(\zeta-z_{0}\right)^{l}}{\left(z-z_{0}\right)^{l+1}} \end{aligned}$$

综合起来：

$$\begin{aligned}&f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C_{o}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)}\mathrm{d}\zeta+\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C_{i}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)}\mathrm{d}\zeta\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\left(z-z_{0}\right)^{k}\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C_{o}}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_{0}\right)^{k+1}}\mathrm{d}\zeta-\sum_{l=0}^{\infty}\left(z-z_{0}\right)^{-(l+1)}\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{C_{i}}\left(\zeta-z_{0}\right)^{l}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta\end{aligned}$$

对于后面这一项，令$k=-(l+1)$，则：$l=-k-1$，有：

$$\sum_{l=0}^{\infty}(z-z_{0})^{-(l+1)}\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\oint_{C_{i}}(\zeta-z_{0})^{l}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(z-z_{0})^{k}\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\oint_{C_{i}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_{0})^{k+1}}\mathrm{d}\zeta$$

所以，刚才的积分表达式为：

$$\begin{aligned} f(z)&=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\oint_{C_{o}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)}\mathrm{d}\zeta+\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\oint_{C_{i}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)}\mathrm{d}\zeta \\&=\sum_{k=0}^{\infty}(z-z_{0})^{k}\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\oint_{C_{o}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_{0})^{k+1}}\mathrm{d}\zeta-\sum_{k=-1}^{\infty}(z-z_{0})^{k}\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\oint_{C_{i}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_{0})^{k+1}}\mathrm{d}\zeta \end{aligned}$$

在环形区域上，积分项中的$\zeta-z_{0}\neq 0$，所以上述积分项中每一项在$C_{o}$和$C_{i}$所围成的区域中是解析的。根据柯西定理，对于该区域内任意一条简单的封闭曲线，始终成立。

$$\oint_{C_{c}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_{0})^{k+1}}\mathrm{d}\zeta=\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_{0})^{k+1}}\mathrm{d}\zeta$$ $$\oint_{C_{c}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_{0})^{k+1}}\mathrm{d}\zeta=-\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_{0})^{k+1}}\mathrm{d}\zeta$$

所以可以得到如下的洛朗级数表达式：

$$f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}(z-z_{0})^{k}$$ $$a_{k}=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_{0})^{k+1}}\mathrm{d}\zeta$$

证毕。

洛朗级数展开的正幂次项成为正则部分，收敛半径为$|z-z_0|<R_o$，负幂次项为主要部分，收敛半径为$|\frac{1}{z-z_0}|<\frac{1}{R_i}$。洛朗级数展开是唯一的。

六、孤立奇点#