1、定义#

在平面上取定一点$O$，称为极点，从$O$出发引一条射线$Ox$，称为极轴，对平面上任一点P，记$P$到$O$的距离为$r$，从极轴逆时针转到$OP$的角度为 $\theta$，这样我们可以用有序数对$(r,θ)$与$P$点对应（一一对应）。$(r,\theta)$称为$P$点的极坐标，$r$称为$P$点的极径，$\theta$ 称为$P$点的极角。（如图）

一般，规定 $0\leq r< + \infty$, $0\leq \theta < 2\pi$（或$-\pi\leq\theta<\pi$），这样，平面上除极点以外，其它每一点都有唯一的一个极坐标表示。极点的极径为零，极角任意。

2、极坐标与直角坐标的关系#

如果我们将极点取为直角坐标系原点，极轴取为直角坐标系$x$轴，则某一点 $P$的极坐标 $(r,\theta)$与平面直角坐标$(x,y)$之间的转换关系为：

$\begin{cases} x= r\cos \theta \\ y= r\sin \theta & \end{cases}$ 或： $\begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\arctan\frac{y}{x}+k\pi\:(x\neq0,k\text{的取值根据}(x,y)\text{确定})\end{cases}$

当$x=0$时，若$y>0$，则$\theta=\frac\pi2$；若$y<0$，则$\theta=\frac{3\pi}{2}$.

1、圆心在原点，半径为$a$的圆方程的各类平面曲线的表示#

1. 直角坐标系：$y= f( x)$, $x\in [ a, b]\longrightarrow y=\pm\sqrt{a^2-x^2}$或$x^2+y^2=a^2$

2. 极坐标系：$r= r( \theta ),\theta \in [ \alpha , \beta ]\longrightarrow r= a,\theta \in [ 0, 2\pi )$

3. 参数方程：$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases},t\in [ t_1, t_2]\longrightarrow\begin{cases} x= a\cos t\\ y= a\sin t \end{cases},t\in[0,2\pi)$

例1 写出圆 $(x-a)^2+y^2=a^2$的极坐标方程和参数方程。

解 将$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$代入方程化简得极坐标方程为$r=2a\cos\theta.$ 此圆的一个参数方程表示为$\begin{cases} x= a( 1+ \cos \theta ) \\ y= a\sin \theta & \end{cases}$, $\theta \in [ 0, 2\pi )$.

2、心形线#

极坐标方程：$r=a(1+\cos\theta),\theta\in[0,2\pi)$，其中$a>0$为常数。

平面直角坐标系方程：$x^2+y^2-ax=a\sqrt{(x^2+y^2)}$，其中$a>0$为常数。

3、双纽线#

极坐标方程：$r^2=a\cos2\theta,\theta\in[0,\frac\pi4]\cup[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]\cup[\frac{7\pi}4,2\pi)$,，其中$a>0$为常数。

平面直角坐标系方程：$(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)$，其中$a$是常数。

4、阿基米德螺线#

极坐标方程：$r=a+b\theta,\theta\in[0,+\infty)$，其中$a,b$为大于零的常数。

5、摆线#

参数方程表达式：$\begin{cases}x=a(t-\sin t)\\y=a(1-\cos t)\end{cases},t\geq0$，其中$a>0$为常数。

6、星形线（内摆线）#

参数方程表达式：$\begin{cases}x=a\cos^3t\\y=a\sin^3t\end{cases},0\leq t<2\pi$，其中$a>0$为常数。