(1) 瞬心#

平面图形$S$，基点$A$，基点的速度为$v_A$，平面图形的角速度$\omega$。过$A$作$v_A$的垂直线$PA$，其上各点的速度由两部分组成：

• 跟随基点平移的速度$v_A$，这是牵连速度，各点速度相同。
• 相对于平移系的速度$v_{PA}$，这是相对速度，自$A$点起线性分布。

在直线$PA$上存在一点$C$，这一点的相对速度$v_{AC}$与牵连速度$v_A$大小相等，方向相反。因此$C$点的绝对速度为$0$，$C$点成为瞬时速度中心，简称为速度瞬心。

(2) 速度瞬心法#

当平面图形在$t$瞬时的速度瞬心$C$以及瞬时角速度$\omega$均为已知时，可以以$C$为基点，建立平移系，进而分析平面图形上各点的运动。图形上的任意点的牵连速度等于零；绝对速度等于相对转动速度。该瞬时图形内各点速度分布和定轴转动时的情形一样。因此，图形在每一瞬时的绝对运动可以看成为绕速度瞬心的转动。由于瞬心的位置是随时间而迁移的，故成为瞬时转轴，简称为瞬轴。

这种运动不能看成是刚体的定轴转动，因为定轴转动的轴是固定的，而瞬心会随着刚体的运动而变化。

根据速度合成定理，平面图形上任一点，如$B$点的速度为：

其中：

图形内各点的速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比，其方向垂直于该点与速度瞬心的连线，指向转动前进的一方。应用瞬时速度中心以及平面图形在某一瞬时绕速度瞬心作瞬时转动的概念，确定平面图形上各点在这一瞬时速度的方法，称为速度瞬心法。

(3) 速度瞬心位置确定#

1. 第一种情形：

   

   已知平面图形上两点的速度矢量的方向，这两点的速度矢量方向互不平行。

   $$\omega=\frac{v_A}{AC}=\frac{v_B}{BC}$$

2. 第二种情形：

   

   已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且两矢量互相平行，并且都垂直于两点的连线。

   $$\omega=\frac{v_A}{AC}=\frac{v_B}{BC}=\frac{|v_A-v_B|}{AB}$$

3. 第二种情形推论：

   

   已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且两矢量互相平行、方向相反，但二者都垂直于两点的连线。

   $$\omega=\frac{v_A}{AC}=\frac{v_B}{BC}$$

4. 第二种情形的特殊情形：

   

   $v_a=v_b$，大小相同，指向相同，这种情况下瞬心在无穷远处，表示刚体在做瞬时平移运动，角速度为$0$。刚体做瞬时平移运动，表示刚体各点的速度相同，但是不代表各点的加速度相同。

5. 第三种情形：

   

   已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且两矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。在这种情况下，瞬心也是在无穷远处，表示刚体在做瞬时平移运动，角速度为$0$。

6. 第四种情形：

   

   车轮沿固定面只滚动而不滑动时，车轮与固定面的接触点$C$的速度为零。点$C$就是车轮的速度瞬心。

(4) 速度瞬心的特点#

1. 瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心；因此瞬心具有加速度。瞬心的轨迹有两种：动瞬心轨迹——在$AB$上看瞬心的轨迹；定瞬心轨迹——瞬心绝对运动轨迹。动瞬心轨迹沿定瞬心轨迹作无滑动的滚动。

   

2. 唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心。

3. 瞬时转动特性：平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。