1、特征根为单根#

设矩阵$\mathbf{A}$的特征根都是单根，即有$n$个不同的特征根$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$。又设$\mathbf{v}_i$是属于特征根$\lambda_i$的特征向量$(i=1,\cdots,n)$，则方程组有$n$个不同的解：

由于它们在线性无关区间$(-\infty, +\infty)$，因此它们构成的一个基本解组。于是

是的通解，其中$c_i(i=1,\cdots,n)$是任意常数。

2、特征根有复根#

若特征方程有复数根，设$\mathbf{A}$是实数矩阵，复特征根必共轭地成对出现。设$\lambda_1 = \alpha + i\beta$是一个特征根，$\mathbf{v}_1 = \mathbf{p} + i\mathbf{q}$是属于$\lambda_1$的一个特征向量，则$\lambda_2 = \alpha - i\beta$也是的一个特征根，且$\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1^* = \mathbf{p} - i\mathbf{q}$是属于$\lambda_2$的一个特征向量。因此有两个复值解

它们的实部和虚部分别

是两个实值解。在基本解组中，$\lambda_1$和$\lambda_2$所对应的两个复值解用这两个实值解来代替，所得解组依然是一个基本解组。

3、特征根有重根#

如果矩阵$\mathbf{A}$的特征根有重根，则不一定能得如单根情况下的$n$个线性无关的解，但有如下引理：

设矩阵$\mathbf{A}$的特征方程有$k$重特征根$\lambda_0$，则对应于$\lambda_0$，方程组有下述形式的$k$个线性无关的解：

其中$v_i (i=0,1,\cdots,k-1)$是某些常向量。

其证明思路是将上式代入，整理得到一系列递推方程：

由线性代数理论知，这样可求得$k$个线性无关的向量$\mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_{k-1}$，从而得$k$个线性无关的解。

4、通解形式总结#

设方程组

的系数矩阵$\mathbf{A}$有$s$个不同的特征根$\lambda_1,\cdots,\lambda_s$，其重数分别为$n_1,\cdots,n_s$，$n_1+\cdots+n_s=n$。则：

1. 对于每一个根$\lambda_i$，方程组(3.24)存在形如 $$\mathbf{p}_i^{(j)}(t) e^{\lambda_i t}\quad (j=1,2,\cdots,n_i)$$ 的$n_i$个线性无关的解，其中$\mathbf{p}_i^{(j)}(t)$是向量函数，其分量为$t$的次数不超过$n_i-1$的多项式；
2. 这些解线性无关，构成基本解组；
3. 方程组的通解为 $$\mathbf{x}(t) = \sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^{n_i} c_{ij} \mathbf{p}_i^{(j)}(t) e^{\lambda_i t}$$ 其中$c_{ij}$是任意常数。

三、消元法#

对于未知函数个数不多（例如$n=2$）的常系数齐次或非齐次方程组，我们也可以采取反其道而行之的办法，将其化为高阶线性方程来求解。