常微分方程求解（5） - 老官童鞋gogo的博客

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常微分方程求解（5）

2025-05-23

数学

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高等数学

微积分

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常微分方程

本文系统介绍一般线性微分方程的部分解法，包括：变量变换法（欧拉方程、降阶法、特殊变系数方程）、变动任意常数法、幂级数解法（定理、 $\gamma$ 阶贝塞尔方程及其解）。

一、变量变换法#

1、欧拉方程（Cauchy-Euler 方程）#

典型形式：

a_{0}x^{n}\frac{\mathrm{d}^{n}n}{\mathrm{d}x^{n}}+a_{1}x^{n-1}\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_{n}y=f(x)

现在主要研究二阶欧拉方程解法。

a_0x^2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + a_1 x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_2 y = f(x)

首先变量变换，取 $x > 0$ ，令 $t = \ln x$ ，则 $x = e^t$ ，有

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right) = -\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}

代入原方程后有

a_0\left(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)+a_1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+a_2y=f(\mathrm{e}^t)

化简得：

a_{0}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}+(a_{1}-a_{0})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+a_{2}y=f(e^{t})

这是二阶常系数线性微分方程，解法已知。对于 $n$ 阶欧拉方程的情况，可做类似处理。

2、已知一个非零解的齐次线性微分方程的降阶法#

考虑二阶齐次线性微分方程

y'' + p(x)y' + q(x) y = 0

已知一个非零解 $y_1(x)$ ，求第二个线性无关解。

设 $y_2(x) = u(x) y_1(x)$ ，计算：

y_2' = u'y_1 + u y_1'

y_2'' = u''y_1 + 2u'y_1' + u y_1''

代入原方程：

y_2'' + p(x)y_2' + q(x)y_2 = u''y_1 + 2u'y_1' + u y_1'' + p(x)(u'y_1 + u y_1') + q(x) u y_1

= u''y_1 + 2u'y_1' + u y_1'' + u'p(x)y_1 + u p(x) y_1' + q(x) u y_1

= u''y_1 + u'[2y_1' + p(x)y_1] + u [y_1'' + p(x) y_1' + q(x) y_1]

由于 $y_1(x)$ 满足原方程，最后一项为零，得

u''y_1 + u'[2y_1' + p(x)y_1] = 0

令 $w = u'$ , 则

w' y_1 + w [2y_1' + p(x) y_1] = 0 \implies w' + w \frac{2y_1' + p(x) y_1}{y_1} = 0

这是关于 $w$ 的一阶线性微分方程，解为

w(x) = \frac{C}{y_1^2} e^{-\int p(x) \mathrm{d}x}

于是

u'(x) = \frac{C}{y_1^2(x)} e^{-\int p(x) \mathrm{d}x}

积分得

u(x) = \int \frac{e^{-\int p(x) \mathrm{d}x}}{y_1^2(x)}\mathrm{d}x

因此，第二解为

y_2(x) = y_1(x)\int \frac{e^{-\int p(x) \mathrm{d}x}}{y_1^2(x)}\mathrm{d}x

由此得到刘维尔公式（Liouville公式）：设 $y_1(x)$ 是 $y'' + p(x) y' + q(x) y=0$ 的解，则另一线性无关解

y_2(x) = y_1(x) \int \frac{e^{-\int p(x) \mathrm{d}x}}{y_1^2(x)}\mathrm{d}x

在前段降阶法中，利用的一个解 $y_1$ ，作变换 $y= y_1u$ ，使变换后的式左边第 $3$ 项方括号 $[\: ]$ 中为零，从而达到降阶的目的。现在换一种思路，选取 $y_1$ 使式左边第 $2$ 项 $[\: ]$ 中为零，而若第 $3$ 项 $[ \:]$ 中恰为 $y_{1}$ 的 $a$ 倍（ $a$ 为常数），并且假设 $y_1\neq0$ ，那么约去此 $y_1$ 之后，成为 $u^{\prime\prime}+au=0$ ，从而成为容易求解的常系数线性齐次微分方程，达到求得原方程的通解的目的。按照上述思路，有下述结果：

设 $p(x)$ 具有连续的一阶导数， $q(x)$ 连续，且满足 $2p'(x)+p^2(x)-4q(x)=a(a为某常数)$ ，则微分方程：

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+p(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+q(x)y=0

可经变量变换 $y=uv$ ，适当选取函数 $v=v(x)$ ，使上述方程化为 $u$ 关于 $x$ 的二阶常系数线性微分方程而求解。事实上,由 $y=uv$ ，有 $y'=u'v+uv'$ , $y''=u''v+2u'v'+uv''$ ，代入原给方程，得

u''v+u'(2v'+pv)+u(v''+pv'+qv)=0

取 $v$ 使 $2v'+pv=0$ ，例如取

v = e^{-\int \frac{p}{2} \mathrm{d}x}

从而经计算有

u'' + pv' + qv = -\frac{1}{4}(2p' + p^2 - 4q)e^{-\int \frac{p}{2} \mathrm{d}x} = -\frac{a}{4}e^{-\int \frac{p}{2} \mathrm{d}x}

于是原方程化为

u''e^{-\int \frac{p}{2} \mathrm{d}x} - \frac{a}{4}ue^{-\int \frac{p}{2} \mathrm{d}x} = 0

即

u'' - \frac{a}{4}u = 0

这是二阶常系数线性齐次方程，容易求得它的通解，从而使得原给方程的通解。

二、变动任意常数法（拉格朗日变参数法）#

针对非齐次线性微分方程

y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)

已知对应齐次方程的两个线性无关解 $y_1(x),\ y_2(x)$ ，则特解设为

y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x)

其中 $u_1(x), u_2(x)$ 为待定函数。对 $y_p(x)$ 求导得

y_p' = [u_1 y_1'(x) + u_2 y_2'(x)]+ [u_1'y_1(x) + u_2'y_2(x)]

为了使变动常数 $c_1,c_2$ 为函数 $u_1,u_2$ 前后，其导数形式相同，令 $y_p$ 一阶导第二个方括号为零，则：

y_p'=u_1y'_1(x)+u_2y_2'(x)

再求导数：

y_p^{\prime\prime} = [u_1 y_1^{\prime\prime}(x) + u_2 y_2^{\prime\prime}(x)]+ [u_1^{\prime} y_1^{\prime}(x) + u_2^{\prime} y_2^{\prime}(x)]

与上述式子同理，令 $y_p'$ 二阶导的第二个方括号值为 $f(x)$ ，联立得：

\begin{cases} u_1'(x) y_1(x) + u_2'(x) y_2(x) = 0 \\ u_1'(x) y_1'(x) + u_2'(x) y_2'(x) = f(x) \end{cases}

解得

u_1'(x) = -\frac{y_2(x) f(x)}{W(x)}, \quad u_2'(x) = \frac{y_1(x) f(x)}{W(x)}

其中 $W(x) = y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)$ 为解的朗斯基行列式。

积分得

u_1(x) = -\int \frac{y_2(x) f(x)}{W(x)} \mathrm{d}x, \quad u_2(x) = \int \frac{y_1(x) f(x)}{W(x)} \mathrm{d}x

最终得到原方程的一个解

y_p(x) = -y_1(x) \int \frac{y_2(x) f(x)}{W(x)} \mathrm{d}x + y_2(x) \int \frac{y_1(x) f(x)}{W(x)} \mathrm{d}x

再加上对应齐次方程的通解，得到该非齐次方程的通解：

y=y_1(x)\left(c_1-\int\frac{y_2(x)}{W(x)}f(x)\mathrm{d}x\right)+y_2(x)\left(c_2+\int\frac{y_1(x)}{W(x)}f(x)\mathrm{d}x\right)

三、幂级数解法（非考点）#

1、幂级数解法定理#

考虑 $y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$ ， $p(x)$ 和 $q(x)$ 在 $x_0$ 处解析。

设 $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$ ，则

y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-x_0)^{n-1}

y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n (x-x_0)^{n-2}

将级数代入方程，通过同幂次项系数相等法可递推求出全部 $a_n$ 。

2、 $\gamma$ 阶贝塞尔方程#

标准形式：

x^2 y'' + x y' + (x^2 - \gamma^2) y = 0

（1）幂级数法解#

设 $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+s}$ ， $a_0 \neq 0$ 。

计算：

y'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+s)a_n x^{n+s-1}

y''(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+s)(n+s-1)a_n x^{n+s-2}

代入原方程

x^2 y'' + x y' + (x^2 - \gamma^2) y = 0

整理各项同次幂系数，得递推关系式

a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+s+2)(n+s+1) - \gamma^2}

（2）特殊取值，Frobenius 级数法#

取 $s = \gamma$ 或 $s = -\gamma$ ，各得一组独立解，分别定义为第一类和第二类贝塞尔函数。

3、 $\gamma$ 阶第一类贝塞尔函数 $J_\gamma(x)$ #

定义为

J_\gamma(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\gamma+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2m+\gamma}

其中 $\Gamma(z)$ 为伽马函数。

4、 $-\gamma$ 阶第一类贝塞尔函数 $J_{-\gamma}(x)$ #

同上，取 $s = -\gamma$ ，得

J_{-\gamma}(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m-\gamma+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2m-\gamma}

常微分方程求解（5）

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作者

老官童鞋gogo

发布于

2025-05-23

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