常微分方程求解（4） - 老官童鞋gogo的博客

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常微分方程求解（4）

2025-05-18

数学

/

高等数学

微积分

/

常微分方程

本文将系统介绍常系数线性微分方程的解法方法，分别包括二阶常系数齐次线性微分方程、 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程、以及常系数非齐次线性微分方程的解法。详细推导各步骤，便于理解和掌握。

一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法#

考虑如下方程：

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + a_1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_0 y = 0

其中 $a_0, a_1$ 为常数。

1、特征方程法#

设 $y = e^{\lambda x}$ ，代入原方程：

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}e^{\lambda x} + a_1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\lambda x} + a_0 e^{\lambda x} = \lambda^2 e^{\lambda x} + a_1 \lambda e^{\lambda x} + a_0 e^{\lambda x} = 0

整理得：

(\lambda^2 + a_1\lambda + a_0) e^{\lambda x} = 0

由于 $e^{\lambda x} \neq 0$ ，所以：

\lambda^2 + a_1\lambda + a_0 = 0

这就是特征方程。

2、特征方程的根的情况#

设特征方程的根为 $\lambda_1,\lambda_2$ ，有三种情形：

（1） $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ，且均为实根#

则通解为：

y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}

（2） $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$ ，为重根#

则通解为：

y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}

（3） $\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta$ ，为共轭复根#

则通解为：

\begin{aligned} y(x) &= C_1 e^{(\alpha + i\beta)x} + C_2 e^{(\alpha - i\beta)x} \\ &= e^{\alpha x}(A \cos\beta x + B \sin\beta x) \end{aligned}

其中 $A,B$ 由 $C_1,C_2$ 线性组合而得。

二、 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的解法#

考虑一般形式：

\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} + a_{n-1} \frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_0 y = 0

1、特征方程#

同样设 $y = e^{\lambda x}$ ，代入得：

\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0 = 0

设其 $n$ 个根为 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ ，重根和复根情况如下。

2、通解形式#

若 $\lambda_i$ 为 $k$ 重实根，则通解中对应项为：
$(C_{i,1} + C_{i,2}x + \cdots + C_{i,k}x^{k-1})e^{\lambda_i x}$
若 $\lambda_{i,j} = \alpha \pm i\beta$ 为 $k$ 重复共轭复根，则通解中对应项为：
$e^{\alpha x}[A_1\cos\beta x + B_1\sin\beta x + \cdots + (A_k\cos\beta x + B_k\sin\beta x)x^{k-1}]$
全部根的线性组合即为通解：
$y(x) = \sum_j P_j(x)e^{\alpha_j x}\cos(\beta_j x) + Q_j(x)e^{\alpha_j x}\sin(\beta_j x)$
其中 $P_j(x), Q_j(x)$ 为多项式，次数不超过重根数减一。

三、常系数非齐次线性微分方程的解法#

考虑一般形式：

\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} + a_{n-1} \frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_0 y = f(x)

1、通解结构#

通解 $y(x) = y_c(x) + y_p(x)$ ，其中：

$y_c(x)$ ：对应齐次方程的通解（见前述）。
$y_p(x)$ ：非齐次方程的一个特解。

2、求特解 $y_p(x)$ 的方法#

常用方法有待定系数法和变系数法（常称为“变参数法”或“拉格朗日变参数法”）。

（1）待定系数法#

适用于 $f(x)$ 为指数函数、三角函数、多项式或它们的有限和的情形。

设 $f(x)$ 的形式为多项式、指数函数、三角函数的线性组合，则对应设 $y_p(x)$ 为类似形式的函数，代入方程，确定未知系数。

设 $f(x)$ 为多项式、指数函数、三角函数及其乘积的组合，记 $m$ 次多项式为 $P_m(x)$ ，则：

若

f(x) = P_m(x) e^{\alpha x}

则特解 $y^*$ 具有如下形式：

y_p = x^k R_m(x) e^{\alpha x}

其中 $R_m(x)$ 为 $m$ 次多项式， $k$ 为：

$\alpha$ 是特征方程的 $k$ 重根（如果 $\alpha$ 不是特征方程的根则 $k=0$ ）。

若

f(x) = P_m(x) e^{\alpha x} \cos bx \quad \text{或} \quad Q_m(x) e^{\alpha x} \sin bx\quad \text{或二者之和}

则特解 $y_p$ 具有如下形式：

y_p = x^k\left[ R_m(x) e^{\alpha x} \cos bx + S_m(x) e^{\alpha x} \sin bx \right]

其中 $R_m(x)$ 和 $S_m(x)$ 为 $m$ 次多项式， $k$ 为：

$a \pm bi$ 的每一个值作为特征方程的 $k$ 重根（如果不是特征方程的根则 $k=0$ ）。

（2）变系数法（拉格朗日变参数法）#

原因解释见常微分方程求解（5）-二

适用于 $f(x)$ 不是简单形式，或待定系数法不适用时。

先求得对应齐次方程的两个线性无关解 $y_1(x), y_2(x)$ 。
设
$y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x)$
其中 $u_1(x), u_2(x)$ 为待定函数。
根据拉格朗日法则，得
$\begin{cases} u_1'(x) y_1(x) + u_2'(x) y_2(x) = 0 \\ u_1'(x) y_1'(x) + u_2'(x) y_2'(x) = f(x) \end{cases}$
解该方程组，积分得到 $u_1(x), u_2(x)$ ，最终得到 $y_p(x)$ 。

于是得到常系数非齐次线性微分方程的通解为：

y(x) = y_c(x) + y_p(x)

其中 $y_c(x)$ 为对应齐次方程的通解， $y_p(x)$ 为该非齐次方程的一个特解。

常微分方程求解（4）

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作者

老官童鞋gogo

发布于

2025-05-18

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空间中切线、法平面、切平面、法线的求法

狭义相对论

一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法#

1、特征方程法#

2、特征方程的根的情况#

（1）λ1≠λ2\lambda_1 \neq \lambda_2λ1​=λ2​，且均为实根#

（2）λ1=λ2=λ\lambda_1 = \lambda_2 = \lambdaλ1​=λ2​=λ，为重根#

（3）λ1,2=α±iβ\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\betaλ1,2​=α±iβ，为共轭复根#

二、nnn 阶常系数齐次线性微分方程的解法#

1、特征方程#

2、通解形式#

三、常系数非齐次线性微分方程的解法#

1、通解结构#

2、求特解 yp(x)y_p(x)yp​(x) 的方法#

（1）待定系数法#

（2）变系数法（拉格朗日变参数法）#

（1） $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ，且均为实根#

（2） $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$ ，为重根#

（3） $\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta$ ，为共轭复根#

二、 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的解法#

2、求特解 $y_p(x)$ 的方法#