常微分方程求解（3） - 老官童鞋gogo的博客

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常微分方程求解（3）

2025-05-09

数学

/

高等数学

常微分方程

本篇文章讨论几种特殊形式的二阶微分方程，他们可以经过适当的变量替换降阶为一阶微分方程，称为可降阶的二阶微分方程，这里所用的一些处理方法，对于高阶方程也适用。下面讨论三种情况下的求解方法。

一、 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=f(x)$ 型的微分方程#

对于标题指出的这类方程，只需积分两次，就能求得解。积分一次得到：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\int f(x)\mathrm{d}x+c_1

再积分一次得到：

\begin{aligned}y&=\int\left[\int f(x)\mathrm{d}x+c_1\right]\mathrm{d}x+c_2\\&=\int\left[\int f(x)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}x+c_1x+c_2 \end{aligned}

这是该方程的通解。

二、 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=f(x,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})$ 型的微分方程#

这类方程的特点是不明显含有未知函数 $y$ ，针对这一特点，我们把 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 作为新的未知函数，并作如下变换：令 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p$ ，于是 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$ 代入原方程即得到一个关于 $p$ 与 $x$ 的一阶方程

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=f(x,p)

这里 $p$ 为未知函数.若能求出这个一阶方程的解 $p=\varphi(x,c_1)$ ，则由 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p=\varphi(x,c_1)$ ，就容易求得原方程的通解

y=\int\varphi(x,c_1)\mathrm{d}x+c_2

显然，对于 $y^{(n)}=f(x,y^{(n-1)})$ 型的微分方程 $(n\geqslant 2)$ ，可通过命 $y^{(n-1)}=p$ 得到 $y^{(n)}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$ ，从而化为关于未知函数 $p$ 的一阶方程。如果能求出这个一阶方程的解 $p=\varphi(x,c_1)$ ，则由 $y^{(n-1)}=\varphi(x,c_1)$ 逐次积分，就可以得到通解：

y=\underbrace{\int\cdots\int}_{n-1个}\varphi(x,c_1)dx\cdots dx+c_2x^{n-2}+c_3x^{n-3}+\cdots+c_n

三、 $\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=f(y,\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})$ 型的微分方程#

这类方程的特点是其中不明显含自变量 $x$ ，因此可把 $y$ 暂时作为这类方程的自变量。为此，作如下变换（注意与情况二不同之处）。令 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p$ ，于是：

\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}

把它们代入原方程得：

p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p)

于是原方程降低一阶而成为 $p$ 关于 $y$ 的一阶微分方程。对于不明显含自变量的高阶方程，亦可采用改办法，求出 $\frac{\mathrm{d}^{3}y}{\mathrm{d}x^{3}},\frac{\mathrm{d}^{4}y}{\mathrm{d}x^{4}},\cdots$ ，再把 $y$ 看作自变量而把原方程降低一阶。

常微分方程求解（3）

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作者

老官童鞋gogo

发布于

2025-05-09

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一、d2ydx2=f(x)\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=f(x)dx2d2y​=f(x)型的微分方程#

二、d2ydx2=f(x,dydx)\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=f(x,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})dx2d2y​=f(x,dxdy​)型的微分方程#

三、d2ydx2=f(y,dydx)\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=f(y,\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})dx2d2y​=f(y,dxdy​)型的微分方程#

一、 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=f(x)$ 型的微分方程#

二、 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=f(x,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})$ 型的微分方程#

三、 $\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=f(y,\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})$ 型的微分方程#