一般，在一个（组）方程中，如果未知量是一个（组）函数，而且该方程中含有此未知函数的导数，则称这种方程为微分方程（组），如果在微分方程里，出现的未知函数是单个自变量的函数，我们称这一类微分方程为常微分方程。下面通过几篇文章，推导各种常微分方程的求解方法。
一、可分离变量方程#
我们首先讨论已解出导数的一阶微分方程的一种特殊形式
dxdy=φ(x)ψ(y)的方程，其特点是，方程右边是一个x的函数与一个y的函数的乘积，我们称这类方程为可分离变量的微分方程。设φ(x)和ψ(y)都是连续函数，且ψ(y)=0。
这类方程的解法被称为“分离变量法”，其核心思想是将含有y的部分和含有x的部分分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
我们改写方程，使等号一边仅含 y 的函数和 y 的微分 dy，另一边仅含 x 的函数和 x 的微分 dx，即：
φ(y)dy=φ(x)dx设 y=y(x) 是方程满足初值条件 y∣x=x0=y0 的解，则
φ(y(x))d(y(x))≡φ(x)dx两边从 x0 到 x 积分，得：
∫x0xφ(y(ζ))d(y(ζ))≡∫x0xφ(ζ)dζ对左式作变量变换，命 η=y(ζ)。则当 ζ=x0 时，η=y(x0)=y0, ζ=x 时，η=y(x)，于是有：
∫y0y(x)φ(η)dη≡∫x0xφ(ζ)dζ即 y=y(x) 满足方程：
∫y0yφ(η)dη=∫x0xφ(ζ)dζ反之，设 y=y(x) 是方程满足 y∣x=x0=y0 所确定的隐函数，将上式两边对 x 求导数，得
φ(y(x))1dxdy(x)=φ(x)故知 y=y(x) 是方程的解。
也可用不定积分法求方程的通解：将式子两边分别对y,x积分，得：
∫ψ(y)dy=∫φ(x)dx+c设有y∗使ψ(y∗)=0，则易知y=y∗也是方程的一个解，在求微分方程的解时，不要忘了这种解。这个解，有时可认为包含在积分式中，有时并不包含在积分式中，一般要单独去做。
二、齐次方程（零齐次方程）#
我们首先讨论零齐次微分方程的一种特殊形式
dxdy=F(xy)该方程特点是，方程右边是一个关于 xy 的函数，我们称这类方程为齐次微分方程。我们假设设 F 是连续函数。
这类方程的解法被称为“变量替换法”，其核心思想是通过引入新变量 v=xy，将原方程转换为可分离变量的微分方程。
我们进行变量替换，令 v=xy，则 y=vx，对 x 求导得：
dxdy=v+xdxdv代入原方程，得到：
v+xdxdv=F(v)整理方程，使含 v 的部分和含 x 的部分分别分离：
xdxdv=F(v)−v进一步改写为可分离变量形式：
F(v)−vdv=xdx设 y=y(x) 是方程满足初值条件 y∣x=x0=y0 的解，对应的变量替换为 v0=x0y0。对两边从 x0 到 x 积分：
∫v0v(x)F(η)−ηdη=∫x0xζdζ对右式直接积分，左式作变量变换 η=v(ζ)，得：
∫v0v(x)F(η)−ηdη=lnx0x将 v(x)=xy(x) 代回，得到隐式解：
∫v0xyF(η)−ηdη=lnx0x反之，将隐式解两边对 x 求导可验证解的正确性：
F(xy)−xy1(x2y′x−y)=x1整理后还原为原方程形式。
通解可通过不定积分表示为：
∫F(v)−vdv=∫xdx+C
三、一阶线性微分方程#
1、一阶齐次线性方程#
我们讨论一阶线性齐次微分方程的标准形式
dxdy+P(x)y=0其特点是方程可表示为未知函数 y 与其导数 dxdy 的线性组合，且右端项为零。我们称此类方程为线性齐次微分方程，其中 P(x) 是已知连续函数。这类方程的解法仍是为”分离变量法”。
将方程改写为可分离变量形式：
ydy=−P(x)dx对两边分别进行不定积分：
∫y1dy=−∫P(x)dx+C计算左式积分时需注意 y=0 的隐含条件，得到：
ln∣y∣=−∫P(x)dx+C通过指数运算消去对数，得通解表达式：
y=±eC⋅e−∫P(x)dx将 ±eC 合并为任意常数 C∈R，最终通解为：
y=Ce−∫P(x)dx当 C=0 时，y=0 是方程的平凡解，已包含在通解表达式中，分离变量时假设 y=0，但最终通解通过常数 C 的任意性自然包含了所有可能情况。
2、一阶非齐次线性方程#
我们讨论一阶线性非齐次微分方程的标准形式：
dxdy+P(x)y=Q(x)其特点是方程可表示为未知函数 y 与其导数 dxdy 的线性组合，且右端项为已知函数 Q(x)。我们称此类方程为线性非齐次微分方程，其中 P(x) 和 Q(x) 是已知连续函数。这类方程的解法通常为”积分因子法”。
首先构造积分因子 μ(x)，使得方程可化为全微分形式。积分因子由下式给出：
μ(x)=e∫P(x)dx将原方程两边乘以积分因子：
μ(x)dxdy+μ(x)P(x)y=μ(x)Q(x)此时方程左边可表示为全导数形式，而构造积分因子的目的就是希望能够转化为一阶：
dxd[μ(x)y]=μ(x)Q(x)对两边进行不定积分：
∫dxd[μ(x)y]dx=∫μ(x)Q(x)dx+C计算左式积分并整理得：
μ(x)y=∫μ(x)Q(x)dx+C将积分因子表达式代入并解出 y，得到通解：
y=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)其中 C∈R 为任意常数。当 Q(x)≡0 时，解自动退化为齐次方程的通解形式，表明非齐次解包含齐次解的特例。
由上式还可以看出，一阶非齐次线性方程的通解y可以写成两项之和：
y=e−∫p(x)dx∫Q(x)e∫p(x)dxdx+Ce−∫p(x)dx前者相当于一阶非齐次线性方程解中C=0 的情形，因而它是非齐次方程的一个解；后者是对应的一阶齐次线性方程的通解。一般，我们可以证明，如果Y(x)是对应的齐次方程的通解，y∗(x)是原方程的任意一个解，则y=Y(x)+y∗(x)是非齐次方程的通解，这与线性代数中齐次方程组与非齐次方程组的关系有异曲同工之处。
上面所用的方法，即将对应的齐次方程通解中的任意常数C换成待定函数μ(x)，以求得非齐次方程解的方法，叫做“变动任意常数法”。
三、伯努利方程#
我们讨论伯努利方程的标准形式：
dxdy+P(x)y=Q(x)yn(n=0,1)其特点是方程包含非线性项 yn，但可通过变量代换化为线性微分方程。解法核心是通过幂函数变换将方程线性化。
使用“变量代换法”令 v=y1−n，则对 x 求导得：
dxdv=(1−n)y−ndxdy然后将方程线性化，将原方程乘以 (1−n)y−n：
(1−n)y−ndxdy+(1−n)y1−nP(x)=(1−n)Q(x)代入 v=y1−n 和 dxdv 表达式，方程化简为：
dxdv+(1−n)P(x)v=(1−n)Q(x)应用”积分因子法“构造积分因子 μ(x)：
μ(x)=e∫(1−n)P(x)dx将方程两边乘以 μ(x)，得到全导数形式：
dxd[μ(x)v]=(1−n)μ(x)Q(x)对两边积分：
μ(x)v=(1−n)∫μ(x)Q(x)dx+C代回原变 量 y=v1/(1−n)，得通解：
y=[e−∫(1−n)P(x)dx((1−n)∫e∫(1−n)P(x)dxQ(x)dx+C)]1/(1−n)