根据函数特性计算定积分的方法

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根据函数特性计算定积分的方法

2024-12-10

数学

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高等数学

微积分

注：本文中的计算方法，不包括牛顿莱布尼茨公式和求不定积分的四种方法。

一、利用被积函数的奇偶性#

设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续，则：若 $f(x)$ 为偶函数： $\int^a_{-a}f(x)\mathrm{d}x=2\int^a_0f(x)\mathrm{d}x$ 若 $f(x)$ 为奇函数： $\int^a_{-a}f(x)\mathrm{d}x=0$ 可使用换元（令 $t=-x$ ）证明上面结论。方法一的推论：若 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续，则： $\int_{-a}^af(x)\mathrm{d}x=\int^a_0[f(x)+f(-x)]\mathrm{d}x$