1、曲线为参数方程表示#

设空间曲线$C$的参数方程为：

其中$t$为参数。其切向量为：

曲线在点$P(x_0, y_0, z_0)$处的切线方程若$t_0$对应$P$，则切线的方向向量为$\vec{r}'(t_0)$，其参数方程为：

或对称式为：

曲线的法平面指过曲线某点且垂直于切线的平面，若切线方向向量为$\vec{v} = (a, b, c)$，则法平面的法向量也是$\vec{v}$，法平面方程为：

其中$(x_0, y_0, z_0)$是曲线上的点。

2、曲线为一般方程表示#

设空间曲线$C$由

确定。

曲线上的切向量可以由梯度$\nabla F$和$\nabla G$的叉积给出：

或者使用雅可比行列式：

若$P(x_0, y_0, z_0)$为曲线上的点，则切线参数方程为：

其中$\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$为上述的切向量。

法平面是同时过$P(x_0, y_0, z_0)$且分别以$\nabla F$和$\nabla G$为法向量的两个平面的交集。即：

或理解为过点$P$，且其法向量垂直于切向量$\vec{v}$的所有平面。

1、曲面为一般方程表示#

设空间曲面$S$由标量函数$F(x, y, z) = 0$给出。

曲面上某点的法向量为梯度向量：

曲面在点$P(x_0, y_0, z_0)$处的切平面的法向量为$\vec{n}_0 = \left( F_x, F_y, F_z \right)|_{P}$，其方程为：

法线为通过$P(x_0, y_0, z_0)$且方向为$\vec{n}_0$的直线，其参数方程为：

2、曲面为参数方程表示#

设空间曲面$S$由参数方程

给出。

在参数点$(u_0, v_0)$处，分别计算：

则法向量为

其行列式形式为：

若$P(x_0, y_0, z_0)$为对应$(u_0, v_0)$的点，则切平面方程为

其中$\vec{n} = (n_1, n_2, n_3)$。

法线过点$P(x_0, y_0, z_0)$，方向为$\vec{n}$，其参数方程为