一、位移电流#
在原始的安培环路定理中，只考虑了电流产生磁场：
∮B⋅dl=μ0i但在电容充放电等情况下，电流的连续性会断开（比如电容板之间没有实际电流通过），这导致了矛盾。例如，如果我们取一个环路穿过电容板之间的空间，按安培定律，环路上应有磁场，但空间中没有实际电流。或者说选取下图中圈1作为安培环路，利用斯托克斯公式，将积分写为面积分形式，发现如果取得曲面是2或者4，则不存在问题，但是若是取曲面3，曲面3并不包括任何电流，导致这一细节问题产生。
麦克斯韦为了解决这个矛盾，引入了位移电流的概念：
- 当电场随时间变化时，也会在空间中产生磁场。
- 位移电流并不是真正的电荷流动，而是电场变化引起的“等效电流”。
位移电流密度定义为：
jd=ε0∂t∂E
二、麦克斯韦补充后的安培环路定理#
麦克斯韦将安培环路定理扩展为：
∮B⋅dl=μ0(i+ε0dtdΦE)其中，ΦE是穿过环路所围面积的电场通量：
ΦE=∫E⋅dA更一般地，在积分形式下，麦克斯韦方程组的最后一个方程（安培-麦克斯韦定律）为：
∮B⋅dl=μ0i+μ0ε0∬∂t∂E⋅dA
- 第一项是传导电流，即实际电荷流动。
- 第二项是位移电流，即电场变化产生的等效电流。
三、麦克斯韦方程组积分形式#
四个方程积分如下，积分形式可以通过高斯定理和斯托克斯定理转化为微分形式：
1、电场高斯定律#
∫∫◯E⋅dA=ε0q0转化为
∇⋅E=ε0ρ2、磁场高斯定律#
∫∫◯B⋅dA=0转化为
∇⋅B=03、法拉第定律#
∮E⋅dl=−dtdΦB=−∬∂t∂B⋅dA转化为
∇×E=−∂t∂B4、麦克斯韦补充后的安培环路定理#
∮B⋅dl=μ0i+μ0ε0∬∂t∂E⋅dA转化为
∇×B=μ0j+μ0ε0∂t∂E5、麦克斯韦方程组微分形式#
为了包含含介质的情况，将上式改写：
⎩⎨⎧∇⋅D=ρe0∇⋅B=0∇×E=−∂t∂B∇×H=j0+∂t∂D
- 这里D是电位移矢量，H是磁场强度，j0是自由电流密度。
- 在真空中，D=ε0E，H=B/μ0。