1、定义#

设$C$是空间中的一条光滑有向曲线，$f(x, y, z)$是定义在$C$上的一个标量函数。第一类曲线积分是指对$f$沿$C$的弧长$s$积分，记作：

其中，$\mathrm{d}s$表示曲线$C$上的弧长微元。

2、几何意义#

$\mathrm{d}s$表示曲线$C$上一小段的长度，$f(x, y, z) \, \mathrm{d}s$可以理解为该小段上的“函数值乘以长度”，即类似于沿曲线“加权长度”的总和。

举例：

• $f(x, y, z) = 1$时，$\int_C \mathrm{d}s$就是曲线$C$的长度。
• $f(x, y, z)$表示密度，则积分表示沿曲线$C$的总质量。

3、计算公式（参数化法）#

设曲线$C$由参数方程给出：

则有：

所以：

对于平面曲线$z \equiv 0$，只需去掉$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$项。

1. 定义#

设$\mathbf{F} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$是空间中的一个向量场，$C$是一条有向光滑曲线。第二类曲线积分是指对向量场在曲线上“切向分量”的积分，记作：

其中，$\mathrm{d}\mathbf{r} = (\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z)$为曲线上微元位移向量。

2. 物理与几何意义#

• $\mathbf{F}$表示力场，$\mathrm{d}\mathbf{r}$是位移微元，则积分表示力沿曲线$C$所做的总功。
• 积分的实质是沿曲线$C$，$\mathbf{F}$在切线方向的分量的积分和。

3. 计算公式（参数化法）#

设曲线$C$由参数方程：

则

因此：

或者：

其中$\mathbf{r}'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))$。

1、第一类曲线积分的性质#

• 对于分段光滑曲线，可以分段计算再相加。
• 与曲线方向无关。

2、第二类曲线积分的性质#

• 与曲线方向有关，若反向，积分取负。
• 若向量场为保守场（即存在势函数$\varphi$，$\mathbf{F} = \nabla \varphi$），则积分只与起点终点有关，与路径无关。

例1：计算第一类曲线积分#

计算曲线$C$为单位圆$x^2 + y^2 = 1$上，$f(x, y) = x^2$沿$C$的第一类曲线积分。

参数化：$x = \cos t, y = \sin t, \quad t \in [0, 2\pi]$

所以：

例2：计算第二类曲线积分#

计算向量场$\mathbf{F} = (y, x)$沿顺时针单位圆$C$的第二类曲线积分：

参数化同上：

代入：

所以：