$x\in A\Leftrightarrow x\not\in \complement_{U}A,x\in \complement_{U}A\Leftrightarrow x\not\in A,\varnothing\subsetneqq A\Leftrightarrow A\neq\varnothing $$

$\complement_{U}(A\cap B)=\complement_{U}A\cup C_{U}B;\complement_{U}(A\cup B)=\complement_{U}A\cap\complement_{U}B\:$

$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B= A\Leftrightarrow A\cup B= B\Leftrightarrow C_{v}B\subseteq C_{v}A\Leftrightarrow A\cap C_{v}B= \varnothing \Leftrightarrow C_{U}A\cup B=R$

解连不等式${N}<f^{\prime}(x)<M$常有以下转化形式 $N<f\left(x\right)<M\Leftrightarrow[f\left(x\right)-M][f\left(x\right)-N]<0\Leftrightarrow\frac{f\left(x\right)-N}{M-f\left(x\right)}>0\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right)>N\\f\left(x\right)<M\end{cases}$

方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$在$(k_1,k_2)$内有且只有一个实根，等价于$f(k_{1})f(k_{2})<0$或$\begin{cases} k_{1}<-\frac{b}{2a}<k_{2}\\\Delta=b^{2}-4ac=0\end{cases}$。

比例的基本性质和主要变形：

对于比例$\frac ab=\frac cd$，其中$a,b,c,d$ 均不为零，则有：

1. 更比定理：$\frac ac=\frac bd$或$\frac db=\frac ca$。
2. 反比定理：$\frac ba=\frac dc$。
3. 合比定理：$\frac {a+b}b=\frac{c+d}d$或$\frac a{a+b}=\frac c{c+d}$。
4. 分比定理：$\frac{a-b}b=\frac{c-d}d$或$\frac a{a-b}=\frac c{c-d}$
5. 合分比定理：$\frac {a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$。
6. 等比定理：若$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$，则$\frac {la_1+ma_2+\cdots+ta_n}{lb_1+mb_2+\cdots+tb_n}=\frac{a_1}{b_1}$

分期付款（按揭贷款）：每次还款$x=\frac{ab(1+b)^n}{(1+b)^x-1}$元(贷款$a$元，$n$次还清，每期利率为$b$。

同角三角函数的基本关系式：

$\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta = 1$ $1+ \tan ^{2}\theta = \sec ^{2}\theta$ $1+ \cot ^{2}\theta = \csc ^{2}\theta$ $\tan \theta _{= }\frac {\sin \theta }{\cos \theta }$ $\cot \theta = \frac {\cos \theta }{\sin \theta }$

和角、差角、和差化积公式

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$ $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$ $\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}$ $\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2$ $\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cdot\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$ $\cos\alpha-\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$ $\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2$

二倍角公式及降幂公式

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$

$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha=\frac{1-\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}$

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$

$\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}$

$\tan\alpha=\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\frac{1-\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$