一、第二类拉格朗日方程#

一般地，质点系各个质点的矢量坐标可以表示为广义坐标的函数$\vec{r}=\vec{r}_i(q_1,q_2,\cdots,q_k;t)$。质点速度相应地通过广义速度表示为：

上式两边对广义速度$\dot q_j$求偏导数，得到消点规则：

质点速度关于广义坐标的导数为

而质点矢量坐标关于广义坐标的导数仍为广义坐标的函数，

再将它关于时间求全导数，可得

这里，假定矢量坐标 $\vec{r}_i$ 一阶与二阶连续可微，即得另一个恒等关系式，即交换规则：

于是可将广义惯性力表示为：

即

注意到：

那么广义惯性力可以表示为：

其中，$T = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_i v_i^2$ 是系统的动能。因此，广义惯性力可以表示成动能的导数表达，将广义惯性力代入到广义坐标系中的动力学普遍方程中，得到：

这就是（第二类）拉格朗日方程

二、广义速度表示的动能#

利用速度表达式，可以将质点系的动能表示为：

其中动能关于广义速度的二次项、一次项与零次项部分分别为：

• 二次项：

• 一次项：

• 零次项：

这里的$a_{ij},b_i,c$都是广义坐标及时间的函数，$a_{ij}=a_{ji}$具有对称性。

三、保守系统的拉格朗日方程#

保守系统受到的主动力都是有势力，而有势力相应地广义力可以表示为势能的导数的负数，所以拉格朗日方程成为：

势能仅仅取决于质点系的位形，只是广义坐标的函数，从而：

引入拉格朗日函数（或者说动势）：

拉格朗日函数$L=L(\dot{q}_1,\dot{q}_2,\cdots,\dot{q}_k;q_1,q_2,\cdots,q_k)$，则拉格朗日方程可以表示为：

上面括号中的内容叫做广义动，后一项为拉格朗日力。此时，只需计算系统的动能与势能，无需计算广义力。利用动能表达式，可以将拉格朗日函数表示为：

四、非保守系统的拉格朗日方程#

对于非保守系统，主动力可以分为有势力和非有势力两类：

系统的拉格朗日方程为：

其中$\tilde{Q}$是非有势力的广义力。