一、位置矢量#

位置矢量 $\mathbf{r}$ 在极坐标系中表示为：

其中，$\hat{r}$ 是径向单位矢量。

二、速度矢量#

速度 $\mathbf{v}$ 是位置矢量的时间导数：

由于 $\hat{r}$ 随 $\theta$ 变化，其导数为：（推导过程见“五”）

其中，$\hat{\theta}$ 是横向单位矢量。因此，速度矢量为：

其中，$\dot{r} = \dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$ 是径向速度，$r \dot{\theta} = r \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ 是横向速度。

三、加速度矢量#

加速度 $\mathbf{a}$ 是速度矢量的时间导数：

展开后得到：

单位矢量 $\hat{\theta}$ 的导数为：（推导过程见“五”）

代入后，加速度矢量为：

整理后得到：

其中：

• 径向加速度为 $\ddot{r} - r \dot{\theta}^2$，
• 横向加速度为 $r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta}$。

四、总结#

• 速度： $$\mathbf{v} = \dot{r} \hat{r} + r \dot{\theta} \hat{\theta}$$
• 加速度： $$\mathbf{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \hat{r} + (r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta}) \hat{\theta}$$

​ 特别地，当径向速度为0时，横向加速度为0时（即做匀速圆周运动），可以得到：

五、补充证明#

在直角坐标系中，极坐标的单位矢量 $\hat{r}$ 和 $\hat{\theta}$ 可以表示为：

其中，$\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 是直角坐标系的单位矢量。

1. 对 $\hat{r}$ 求导数

对 $\hat{r}$ 关于时间 $t$ 求导：

利用链式法则，得到：

将 $\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}$ 代入，得到：

注意到 $-\sin\theta \, \hat{i} + \cos\theta \, \hat{j} = \hat{\theta}$，因此：

2. 对 $\hat{\theta}$ 求导数

对 $\hat{\theta}$ 关于时间 $t$ 求导：

利用链式法则，得到：

将 $\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}$ 代入，得到：

注意到 $-\cos\theta \, \hat{i} - \sin\theta \, \hat{j} = -\hat{r}$，因此：

综上，通过直角坐标系的视角和三角函数的表示，我们证明了：

另一种更加直观的方法是画出在极短时间内质点在极坐标系内位置的变化图像，可以直接得到相应结论。