1、点的运动方程#

点的运动方程是描述点的位置、速度和加速度随时间变化的数学方程。由定点$O$画到动点$M$的有向线段$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol{r}$称为动点$M$的矢径，它的分解式可以表示为下面的方程：

矢径唯一地决定了点$M$的位置。当点$M$运动时，矢径$\boldsymbol{r}$是随时间而变的矢量。一般可表示为时间$t$的单值连续函数。

此方程称为点$M$的矢量形式的运动方程。 矢径的端点在空间描出的曲线称为矢径端图（或矢端图），它就是动点的轨迹。

关于点的位移、速度、加速度的定义和表示，与普通物理学中的方法一致。使用$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(t),\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}(t)$表示。

1、点的运动方程#

通常使用直角坐标系，动点$M$对于所选直角坐标系的位置，可由它的三个坐标$x,y,z$决定。当$M$运动时，这些坐标一般地可以表示为时间$t$的单值连续函数，即：

这一组方程称为点M的直角坐标形式的运动方程。若函数$f_1、f_2$、$f_3$都是已知的，则动点$M$对应于任一瞬时$t$的位置即可完全确定。

1、自然轴系（曲率与曲率半径）#

2、点的速度#

设已知点$M$的运动轨迹和运动方程：

$M$点的速度（矢量）为：

自然法定义的速度的大小为：

自然法定义的速度方向沿轨迹在$M$处的切线$e_\mathrm{t}$并指向弧坐标增加的一方。可见，点$M$的速度是沿轨迹切线。

3、点的加速度#

根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式

最终得到：

其中$\frac{\mathrm{d}e_\mathrm{t}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}e_\mathrm{t}}{d\varphi}\times\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s}\times\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$，进一步化简为$\frac{\mathrm{d}e_\mathrm{t}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}e_\mathrm{t}}{d\varphi}\times\frac1\rho\times v$，而$\frac{\mathrm{d}e_\mathrm{t}}{\mathrm{d}t}$可以如下计算，首先计算其大小：

然后尝试获取其方向，当 $t \to 0$ 时，$e_t$ 和 $e_t'$ 以及$\Delta e_\mathrm{t}$同处于 $M$ 点的密切面内，这时，$\Delta e_\mathrm{t}$的极限方向垂直于 $e_\mathrm{t}$，即$e_\mathrm{n}$方向。

最终得到自然法下点的加速度：

第一项为切向加速度，第二项为法向加速度。动点的加速度在切线上的投影，等于速度在切线上的投影对时间的导数；加速度在主法线上的投影，等于速度的平方除以轨迹在动点处的曲率半径；加速度在副法线上的投影恒等于零。

因为加速度的两个分量 $a_n$ 与 $a_t$ 是相互垂直的，故得全加速度 $a$ 的大小为：

加速度 $a$ 与主法线所成的角度 $\theta$（恒取绝对值），由下式确定：