一、极坐标变换的定义#

将笛卡尔坐标 $(x, y)$ 转换为极坐标 $(r, \theta)$：

其中：

• $r \geq 0$ 是到原点的距离，
• $\theta \in [0, 2\pi)$ 是与 $x$-轴的夹角。

二、雅可比矩阵的构造#

雅可比矩阵由 $x$ 和 $y$ 对 $r$ 和 $\theta$ 的一阶偏导数构成：

计算各偏导数：

1. $\frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta$
2. $\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin \theta$
3. $\frac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta$
4. $\frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos \theta$

因此，雅可比矩阵为：

三、行列式的计算#

雅可比行列式为：

展开并化简：

四、几何直观验证#

在极坐标中，一个微小区域的面积由 $r$ 和 $\theta$ 的微小变化 $\Delta r$ 和 $\Delta \theta$ 决定。该区域可近似为一个“扇形环”，其面积为：

但更精确的几何分析表明，当 $\Delta \theta$ 很小时，扇形环的面积实为：

当 $\Delta r \to 0$ 且 $\Delta \theta \to 0$ 时，高阶无穷小项 $(\Delta r)^2 \Delta \theta$ 可忽略，故：

这与雅可比行列式的结果 $|\det(J)| = r$ 完全一致，验证了其正确性。

五、代数视角的进一步验证#

雅可比行列式的绝对值 $r$ 表示极坐标到笛卡尔坐标的变换对面积的局部缩放因子。考虑线性变换的类比：

• 若雅可比矩阵是常数矩阵，行列式直接代表线性变换的面积缩放。
• 对于非线性变换（如极坐标），雅可比行列式在每一点给出局部线性近似的缩放因子。

因此，在积分变换公式中：

雅可比行列式 $r$ 确保了面积元 $dx \, dy$ 被正确转换为 $r \, dr \, d\theta$。

六、常见疑问解答#