1、从单变量导数到多变量全导数#

在单变量微积分中，一元函数$f(x)$在$x$处的导数定义为

$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$

它给出了函数在该点的最佳线性近似。推广到多元向量值函数$\mathbf{f}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$，我们希望类似地得到一个线性映射，使得

$\mathbf{f}(\mathbf{x}+\mathbf{h})\approx\mathbf{f}(\mathbf{x})+D\mathbf{f}(\mathbf{x})\mathbf{h}$

这里的$D\mathbf{f}(\mathbf{x})$就是雅可比矩阵，它由所有偏导数组成，其$(i,j)$元素为

$(D\mathbf{f}(\mathbf{x}))_{ij}\:=\:\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathbf{x})\:.$

从这一角度看，雅可比矩阵正是全导数的矩阵表示，将微积分的”导数”概念提升为“矩阵”层面，更形式化地，如果$\mathbf{f}$在$x$处可微，则有

$\mathbf{f}(\mathbf{x}+\mathbf{h})=\mathbf{f}(\mathbf{x})+J_\mathbf{f}(\mathbf{x})\mathbf{h}+o(\|\mathbf{h}\|)$

其中$J_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})$ 即上述雅可比矩阵。

2、示例#

设 $\mathbf{F}(x, y) = \begin{bmatrix} x^2 y \\ \sin x + e^y \end{bmatrix}$，则雅可比矩阵为：

3、雅可比行列式：#

当 $m = n$ 时，雅可比矩阵的行列式称为雅可比行列式，记作 $\det(J_{\mathbf{F}})$ 或 $|J|$。它表示函数在局部区域的体积缩放因子。

1、变量替换的积分#

在多重积分中，雅可比行列式用于变量替换时调整体积元。例如，极坐标变换 $(r, \theta) \to (x, y)$：

雅可比矩阵为：

行列式 $\det(J) = r$，因此积分转换公式为：

2、隐函数定理#

若 $\mathbf{F}: \mathbb{R}^{n+k} \to \mathbb{R}^k$ 满足 $\mathbf{F}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \mathbf{0}$ 且雅可比矩阵 $\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{y}}$ 在点 $(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ 可逆，则存在隐函数 $\mathbf{y} = \mathbf{g}(\mathbf{x})$。

1、可逆性与局部线性近似#

若雅可比行列式在某点非零（即 $\det(J_{\mathbf{F}}) \neq 0$），则函数在该点邻域内可逆（反函数定理）。例如，函数 $\mathbf{F}(x, y) = \begin{bmatrix} e^x \cos y \\ e^x \sin y \end{bmatrix}$ 的雅可比行列式为 $e^{2x}$，在 $x$ 有限时总可逆。

2、体积缩放因子#

线性变换 $\mathbf{y} = A\mathbf{x}$ 的体积缩放因子为 $|\det(A)|$。对于非线性变换，雅可比行列式 $|J|$ 提供了局部体积缩放比例。

3、随机变量变换的密度转换#

设随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度为 $f_{X,Y}(x, y)$，经变换 $U = g(X, Y), V = h(X, Y)$，则新密度为：

其中 $J$ 是逆变换 $x(u, v), y(u, v)$ 的雅可比行列式。

示例：设 $U = X + Y$, $V = X - Y$，则逆变换为：

雅可比矩阵：

行列式 $\det(J) = -\frac{1}{2}$，故 $|J| = \frac{1}{2}$。因此：