1、反正弦函数#

由于正弦函数的单调区间为$[ - \frac \pi 2+ 2k\pi , \frac \pi 2+ 2k\pi ]$ 和 $[ \frac \pi 2+ 2k\pi , \frac {3\pi }2+ 2k\pi ],k\in \mathbb{Z}$在每个单调区间上正弦函数都有反函数。例如在以下区间中，存在：

$y=\sin x,x\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ 对于任意的 $y\in[-1,1]$，都存在唯一的$x\in [ - \frac \pi 2, \frac \pi 2]$，使得 $\sin x=y$. 因此正弦函数在该闭区间上的反函数存在，记为$x=\arcsin y,(-1\leq y\leq1)$

由于符号的习惯，我们通常用$x$表示自变量，这样正弦函数在$[-\frac\pi2,\frac\pi2]$上的反函数为 $y=\arcsin x(-1\leq x\leq1)$

限定在$\left [ - \frac \pi 2+ 2k\pi , \frac \pi 2+ 2k\pi \right ]$上研究正弦函数的反函数。 对于任意的$y\in [ - 1, 1]$, $\arcsin y+ 2k\pi \in [ - \frac \pi 2+ 2k\pi , \frac \pi 2+ 2k\pi ]$以及$\sin(\arcsin y+2k\pi)=\sin(\arcsin y)=y$. 因此$x=\arcsin y+2k\pi$是正弦函数在$[-\frac\pi2+2k\pi,\frac\pi2+2k\pi]$上的反函数。

限定在$[\frac\pi2+2k\pi,\frac{3\pi}2+2k\pi]$上研究正弦函数的反函数。 对于任意的$y\in[-1,1],(\pi-\arcsin y)+2k\pi\in[\frac\pi2+2k\pi,\frac{3\pi}2+2k\pi]$以及$\sin((\pi-\arcsin y)+2k\pi)=\sin(\pi-\arcsin y)=y$, 因此 $x= ( \pi - \arcsin y) + 2k\pi$是正弦函数在$[\frac\pi2+2k\pi,\frac{3\pi}2+2k\pi]$上的反函数。

2、反余弦函数#

由于余弦函数的单调区间为$[2k\pi,(2k+1)\pi]$和$[(2k-1)π,2kπ],k\in\mathbb{Z}$，在每个单调区间上余弦函数都有反函数。

限定在区间$[0,\pi]$上研究余弦函数$y=\cos x$. 对于任意的$y\in[-1,1]$，都存在唯一的 $x\in [ 0, \pi ]$，使得$\cos x=y$. 因此余弦函数在该闭区间上的反函数存在，记为$x=\arccos y(-1\leq y\leq1)$

由于符号的习惯，我们通常用$x$表示自变量，这样余弦函数在$[0,\pi]$上的反函数为 $y=\arccos x(-1\leq x\leq1)$

3、反正切函数#

由于正切函数的单调区间为 $\left ( - \frac \pi 2+ k\pi , \frac \pi 2+ k\pi \right ) k\in \mathbb{Z}$在每个单调区间上正切函数都有反函数。

限定在区间$\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$上研究正切函数$y=\tan x$. 对于任意的 $y\in\mathbb{R}$, 都存在唯一的$x\in \left ( - \frac \pi 2, \frac \pi 2\right )$, 使得 $\tan x= y$. 因此正切函数在该区间上的反函数存在，记为$x=\arctan y(y\in\mathbb{R})$

由于符号的习惯，我们通常用$x$表示自变量，这样正切函数在$(-\frac\pi2,\frac\pi2)$上的反函数为 $y=\arctan x,x\in\mathbb{R}$