一、第一类反常积分定义#

设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，于是对于任意$t>a$，积分$\int_a^tf(x)\mathrm{d}x$存在，它是$t$的函数，称记号

为函数$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty)$上的反常积分（或第一类反常积分） 同样地，设函数$f(x)$在区间$(-\infty,b]$上连续，于是对于任意$t<b$，积分$\int_t^bf(x)\mathrm{d}x$存在，它是$t$的函数，称记号

为函数$f(x)$在无穷区间$(-\infty,b]$上的反常积分（或第一类反常积分） 若上面两式右边极限存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散。 设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，记号

只有等式右边两个积分都收敛，才称反常积分收敛。也可知该反常积分的收敛与否和收敛时的值，与$a$的选取无关。

二、第二类反常积分#

设函数$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，$\lim_{x\to a^+}f(x)=\infty$（称点$a$为瑕点）。于是，任给$\varepsilon>0$且$\varepsilon<b-a$，$\int_{a+\varepsilon}^bf(x)\mathrm{d}x$均存在，它是$\varepsilon$的函数，称记号

为无界函数$f(x)$在$[a,b]$上的反常积分（第二类反常积分） 同样地，设函数$f(x)$在区间$[a,b)$上连续，$\lim_{x\to b^-}f(x)=\infty$（称点$b$为瑕点）。于是，任给$\varepsilon>0$且$\varepsilon<b-a$，$\int^{b-\varepsilon}_af(x)\mathrm{d}x$均存在，它是$\varepsilon$的函数，称记号

为无界函数$f(x)$在$[a,b]$上的反常积分（第二类反常积分） 设$f(x)$在 $[a,c)\cup(c,b]$上连续，$\lim_{x\to c}f(x)=\infty$称点$x$为瑕点），称记号

只有等式右边两个积分都收敛，才称反常积分收敛。也可知该反常积分的收敛与否和收敛时的值。

二、常见反常积分#