1、一元函数勒让德变换#

函数$f(x)$是变量$x$的函数，且$u(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$，可以构造一个新的以$u$为自变量的函数：

取$g$的全微分：

也就是：

于是，$g$就是变量$u$的函数：

我们称$g=xu-f$称为函数$f$的勒让德变换，它存在的条件，就是$x$可以表示为$u$的函数，也就是说$u$存在反函数，根据反函数定理，要求：

而在真实的物理系统中，总是存在勒让德变换。

2、二元函数勒让德变换#

3、勒让德变换的一般方法#

函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n;a_1,a_2,\cdots,a_m)$是变量$x_1,x_2,\cdots,x_n;a_1,a_2,\cdots,a_m$的函数，有：

将变量$x_1,x_2,\cdots,x_n;a_1,a_2,\cdots,a_m$变换为$y_1,y_2,\cdots,y_n;a_1,a_2,\cdots,a_m$，相应的函数$f$变为$g(y_1,y_2,\cdots,y_n;a_1,a_2,\cdots,a_m)$，可以构造：

勒让德变换存在的条件为$x,y$的雅可比行列式不为$0$，在真实的物理系统中都存在勒让德变换。

勒让德变换的逆变换：

同样也适合勒让德逆变换

1、保守系统的哈密顿方程#

设质点系由$n$个质点组成，受到$s$个完整约束，具有$k=3n-s$个自由度。理想约束情况下，保守系统的拉格朗日方程为：

引入广义动量：

以广义动量$p_1,p_2,\cdots,p_k$和广义坐标$q_1,q_2,\cdots,q_k$作为描述系统状态变量，建立系统的运动微分方程组：

其中的函数$H$称为哈密顿函数。对$H$取全微分，得到：

利用拉格朗日方程：

综合即为哈密顿方程，是关于系统状态变量$q_1,q_2,\cdot,q_k$和$p_1,p_2,\cdots,p_k$的$2k$个一阶微分方程组：

哈密顿方程的数量是系统自由度的2倍。

2、非保守系统的哈密顿方程#

对于非保守系统，主动力可以分为有势力和非有势力两类，系统的拉格朗日方程为：

那么广义动量关于时间的全导数为：

于是非保守系统的哈密顿方程为：

3、哈密顿函数#

广义速度表示的动能为：

哈密顿函数$H$是通过广义动量和广义坐标表示的广义能量：

那么对于定常约束系统，满足$T_1=T_0=0,T=T_2$，有：

即通过广义动量和广义坐标表示的机械能。