格林公式、高斯公式、斯托克斯公式

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格林公式、高斯公式、斯托克斯公式

2025-05-28

数学

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高等数学

微积分

一、格林公式#

1、公式内容#

\oint_{C} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

其中 $C$ 为闭合曲线， $D$ 为曲线围成的区域。

2、证明#

假设区域 $D$ 是 $y$ 关于 $x$ 的单值区域，形如：

D = \{(x, y)\mid a \leq x \leq b, \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}

$C$ 的正向是使区域 $D$ 始终在积分路径左侧。

（1）证明 $\displaystyle \oint_C P\,\mathrm{d}x = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ #

曲线 $C$ 分为上下两部分：

$C_1$ : $y = \varphi_1(x)$ ， $x$ 从 $a$ 到 $b$
$C_2$ : $y = \varphi_2(x)$ ， $x$ 从 $b$ 到 $a$

则

\oint_C P\,\mathrm{d}x = \int_{C_1} P\,\mathrm{d}x + \int_{C_2} P\,\mathrm{d}x

但在 $C_2$ 上， $x$ 从 $b$ 到 $a$ ，取负向，所以

\int_{C_2} P\,\mathrm{d}x = -\int_{a}^{b} P(x, \varphi_2(x))\,\mathrm{d}x

同理

\int_{C_1} P\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} P(x, \varphi_1(x))\,\mathrm{d}x

故

\oint_C P\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} \left[ P(x, \varphi_1(x)) - P(x, \varphi_2(x)) \right]\,\mathrm{d}x

另一方面，

\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{a}^{b} \left( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y}(x, y)\,\mathrm{d}y \right)\,\mathrm{d}x

由微积分基本定理，

\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y}(x, y)\, \mathrm{d}y = P(x, \varphi_2(x)) - P(x, \varphi_1(x))

所以

\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{a}^{b} [P(x, \varphi_2(x)) - P(x, \varphi_1(x))]\,\mathrm{d}x

因此

\oint_C P\,\mathrm{d}x = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

（2）证明 $\displaystyle \oint_C Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ #

同理， $y$ 为外层变量， $x$ 为内层变量。

\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{y_0}^{y_1} \left( \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} \frac{\partial Q}{\partial x}\,\mathrm{d}x \right)\,\mathrm{d}y = \int_{y_0}^{y_1} [Q(x_2(y), y) - Q(x_1(y), y)]\,\mathrm{d}y

而 $Q\,\mathrm{d}y$ 的线积分也可写成上下边相减的形式，方向一致。

（3）合并#

\oint_{C} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = -\iint_{D} \frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + \iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

对于一般分片光滑区域可用分割法推广。

二、高斯公式#

1、公式内容#

{\int\kern{-8pt}\int \kern{-23mu} \bigcirc }_{S} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \vec{F}\, \mathrm{d}V

假设 $\vec{F} = (P, Q, R)$ ， $V$ 为曲面围成的区域，边界为 $S$ 。

2、证明（以 $x$ 方向为例）#

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

考虑 $x$ 方向的分量

\iiint_{V} \frac{\partial P}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \iint_{(y,z)\in D_{yz}} \left( \int_{x_0}^{x_1} \frac{\partial P}{\partial x}\,\mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \iint_{(y,z)\in D_{yz}} [P(x_1, y, z) - P(x_0, y, z)]\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

这正是 $x=x_1$ 与 $x=x_0$ 两个面的通量之和。

同理，对 $y$ 和 $z$ 方向分别有

\iiint_{V} \frac{\partial Q}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \iint_{(x,z)\in D_{xz}} [Q(x, y_1, z) - Q(x, y_0, z)]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z

\iiint_{V} \frac{\partial R}{\partial z}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \iint_{(x,y)\in D_{xy}} [R(x, y, z_1) - R(x, y, z_0)]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

六个面的通量和就是体积分中的各项和。

因此

{\int\kern{-8pt}\int \kern{-23mu} \bigcirc}_S \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iiint_V \nabla\cdot\vec{F}\,\mathrm{d}V

对于一般有界区域，可将其分割为无数小长方体，每个小块的内部通量相互抵消，只剩外层的贡献。极限下成立。

三、斯托克斯公式#

1、公式内容#

\oint_{\partial S} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = \iint_{S} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \mathrm{d}\vec{S}

$\partial S$ 为曲面 $S$ 的边界， $S$ 为一曲面。

2、证明#

考虑 $S$ 为参数面：

\vec{r}(u, v), \quad (u, v) \in D

$\vec{F} = (P, Q, R)$ ， $\vec{r}_u = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}$ ， $\vec{r}_v = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}$

面元

\mathrm{d}\vec{S} = (\vec{r}_u \times \vec{r}_v)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v

曲线积分

\oint_{\partial S} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r}

要证

\oint_{\partial S} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = \iint_{D} (\nabla \times \vec{F})|_{\vec{r}(u,v)} \cdot (\vec{r}_u \times \vec{r}_v) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v

（1）局部应用格林公式#

可将 $D$ 分割为很小的区域 $\delta D_i$ ，每个小区域的边界 $\delta C_i$ ，在平面上应用格林公式（或二维斯托克斯公式）：

\oint_{\delta C_i} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = \iint_{\delta D_i} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n} \,\mathrm{d}S

小区域内部的线积分在邻接区域间抵消，只剩下外部总边界 $\partial S$ 上的线积分。

（2）合并#

将所有小区域面积分累加，得整个曲面的曲面积分。极限下结论成立。

（3）具体坐标展开#

以 $S$ 为平面区域， $\vec{F}=(P,Q,R)$ 。

$\nabla\times\vec{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)$

设 $S$ 在 $xy$ 平面， $\mathrm{d}\vec{S} = (0, 0, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y)$ ，则

\iint_S (\nabla\times\vec{F})\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \iint_S \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

这正是格林公式的面积分部分。

格林公式、高斯公式、斯托克斯公式

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作者

老官童鞋gogo

发布于

2025-05-28

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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梯度、散度、旋度

常微分方程求解（5）

一、格林公式#

1、公式内容#

2、证明#

（1）证明∮CP dx=−∬D∂P∂y dx dy\displaystyle \oint_C P\,\mathrm{d}x = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y∮C​Pdx=−∬D​∂y∂P​dxdy#

（2）证明∮CQ dy=∬D∂Q∂x dx dy\displaystyle \oint_C Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y∮C​Qdy=∬D​∂x∂Q​dxdy#

（3）合并#

二、高斯公式#

1、公式内容#

2、证明（以xxx方向为例）#

三、斯托克斯公式#

1、公式内容#

2、证明#

（1）局部应用格林公式#

（2）合并#

（3）具体坐标展开#

（1）证明 $\displaystyle \oint_C P\,\mathrm{d}x = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ #

（2）证明 $\displaystyle \oint_C Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ #

2、证明（以 $x$ 方向为例）#