几何光学 - 老官童鞋gogo的博客

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几何光学

2025-12-08

物理

/

普通物理学

光学

一、光速#

在真空中：

c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}

在介质中：

v=\frac{1}{\sqrt{\kappa_m\kappa_m\mu_0\varepsilon_0}}=\frac{e}{\sqrt{\kappa_m\kappa_e}}

即：

v=\frac{c}n

其中 $n=\sqrt{\kappa_m\kappa_e}$

二、光的多普勒效应#

当光速远大于源与观察者之间的相对速度 $v$ 时，可以采用经典多普勒公式进行近似：设光源发出频率为 $f_0$ ，观察者接收到的频率为 $f$ 。光在真空中的传播速度为 $c$ 。 $v$ 为源与观察者之间的相对速度（规定： $v > 0$ 表示靠近， $v < 0$ 表示远离）。对于源向观察者运动，经典公式为：

f = f_0 \left(1 + \frac{v}{c}\right)

对于源远离观察者运动，公式为：

f = f_0 \left(1 - \frac{v}{c}\right)

当 $v$ 接近光速时，需采用相对论的多普勒效应公式。假设光源和观察者的运动方向与光传播方向一致（沿同一直线）：

对于源远离观察者运动，公式为：

f = f_0 \sqrt{\frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}}

对于源靠近观察者运动，公式为：

f = f_0 \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}}

由于频率和波长满足 $c = f \lambda$ ，因此波长的变化计算如下：

对于源远离观察者的情况（红移）：

\lambda = \lambda_0 \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}}

对于源靠近观察者的情况（蓝移）：

\lambda = \lambda_0 \sqrt{\frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}}

其中 $\lambda_0$ 为源发射的波长， $\lambda$ 为观察者接收到的波长。

三、光的色散#

质的折射率 $n$ 通常依赖于光的频率（或波长）：

n = n(\lambda) \qquad \text{或} \qquad n = n(f)

不同波长的光在同一介质中，折射率不同，导致传播速度不同：

v = \frac{c}{n}

其中 $c$ 为真空中的光速， $v$ 为介质中的光速。光在介质中传播时的相速度（波的某一固定相位，如波峰或波谷传播的速度）：

v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{n(\omega)}

其中 $\omega$ 为角频率， $k$ 为波矢（波数）。群速度描述波包或信息的传播速度：

v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}

由于 $n$ 依赖于 $\omega$ ，群速度与相速度不同，其中 $k = n(\omega)\dfrac{\omega}{c}$ ，对 $\omega$ 求导：

\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega} = \frac{n(\omega)}{c} + \frac{\omega}{c} \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega}

因此：

v_g = \left( \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega} \right)^{-1} = \frac{c}{n(\omega) + \omega \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega}}

四、惠更斯原理#

惠更斯原理是指每一个波前上的点都可以看作是新的“子波源”，每个子波源会向前发射一个新的球面波（或在二维情况下为圆形波）。经过一段时间后，所有这些子波的包络面就构成了新的波前。

假设有一个初始波前 $S$ ，每一个点 $P$ 都成为子波源。经过时间 $t$ 后，各子波源发射的波面半径为 $v t$ （ $v$ 为波速）。所有以 $P$ 为中心，半径为 $vt$ 的球面（或圆弧）的包络面就是新的波前 $S'$ 。对于波前 $S$ 上的每一点 $P$ ，在时间 $t$ 后，其子波的波面为：

|\vec{r} - \vec{r}_P| = v t

新波前 $S'$ 是所有这些球面波的外包络面。

上图中上半部分是介质1（折射率 $n_1$ ，速度 $v_1$ ），下半部分是介质2（折射率 $n_2$ ，速度 $v_2$ ）。红色箭头表示入射波前，蓝色虚线是反射波前，绿色箭头是折射波前。 $A_1, A_2, ..., A_n$ 是入射波前在界面上的各点， $B_1, B_2, ..., B_n$ 是波前在界面上的投影点， $C_1, C_2, ..., C_n$ 是反射波前上的对应点， $D_1, D_2, ..., D_n$ 是折射波前上的对应点。根据惠更斯原理，每个 $A_n$ 点都是子波源，经过时间 $t_n$ ，各自发射波：在介质1中传播距离： $A_n B_n = v_1 t_n$ 在介质2中传播距离： $A_1 D_1 = v_2 t_1$ 。关注反射波前， $\angle A_n A_1 B_n = \angle C_1 B_n A_1$ ，由几何关系， $A_1 C_1 = A_n B_n = v_1 t_n$ ，三角形 $\triangle A_1 C_1 B_n \cong \triangle B_n A_n A_1$ （全等），因此反射角等于入射角：

i_1' = i_1

即，反射角等于入射角，这就是反射定律。

关注折射波前： $\angle D_1 B_n A_1 = i_2$ ，入射角 $\sin i_1 = \frac{A_n B_n}{A_1 D_1}$ ，折射角 $\sin i_2 = \frac{A_1 D_1}{A_n B_n}$ （或其倒数），结合传播距离：

\frac{\sin i_1}{\sin i_2} = \frac{A_n B_n}{A_1 D_1} = \frac{v_1 t}{v_2 t} = \frac{v_1}{v_2}

介质的折射率 $n$ 与光速 $c$ 和介质中的光速 $v$ 关系：

n = \frac{c}{v}

所以：

\frac{\sin i_1}{\sin i_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}

这就是斯涅尔定律（折射定律）。

五、费马原理#

假设光从点 $Q$ 传播到点 $P$ ，在真空中的速度为 $c$ ，路径长度为 $\overline{QP}$ ，则传播时间为：

t_{QP} = \frac{\overline{QP}}{c}

如图所示，光从 $Q$ 经过不同介质，分别有：介质1，折射率 $n_1$ ，路径长度 $\Delta l_1$ ；介质2，折射率 $n_2$ ，路径长度 $\Delta l_2$ ；介质3，折射率 $n_3$ ，路径长度 $\Delta l_3$ 。每段的光速为 $v_i = c / n_i$ ，传播时间为 $\Delta t_i = \Delta l_i / v_i$ 。所以总传播时间为：

t_{QP} = \frac{\Delta l_1}{v_1} + \frac{\Delta l_2}{v_2} + \frac{\Delta l_3}{v_3} = \sum_{i} \frac{\Delta l_i}{v_i}

代入 $v_i = \frac{c}{n_i}$ 得：

t_{QP} = \sum_{i} \frac{\Delta l_i}{c / n_i} = \sum_{i} \frac{n_i \Delta l_i}{c}

光程是描述光在不同介质中传播路径的一种物理量，它与光的传播时间和速度有关。光程定义为光在各段介质中传播相当于在真空中传播的等效距离：

\text{光程} = \sum_{i} n_i \Delta l_i

或在路径 $QMNP$ 上：

(QMNP) = c \cdot t_{QP} = \sum_{i} n_i \Delta l_i

对于任意曲线路径，从 $Q$ 到 $P$ ，光程可用积分表示：

(QP) = \int_{Q}^{P} n\,\mathrm{d}l

其中， $n$ 为路径上的折射率分布， $\mathrm{d}l$ 为沿路径的微元长度。满足：

\delta(QP)=\delta[\int^P_Q n\mathrm{d}l]=0

也就是说，光线从一个固定点传播到另一个固定点时，其路径遵循这样的原则：与邻近路径相比，所需时间要么最短，要么最长，要么保持不变（即处于稳态）。用这个原理可以推导出光的入射和反射定律：

对于反射：

L = \sqrt{a^2 + x^2} + \sqrt{b^2 + (d-x)^2}

\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2(d-x)}{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}} = 0

\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}

\sin \theta_1 = \sin \theta_1' \qquad \theta_1 = \theta_1'

对于折射：

L = n_1 \sqrt{a^2 + x^2} + n_2 \sqrt{b^2 + (d - x)^2}

\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n_1 2x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{n_2 2(d-x)}{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}} = 0

n_1 \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = n_2 \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}},\quad n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2

六、球面镜成像#

1、球面折射成像#

图中展示了一个球面折射问题：一个物体位于球面一侧，经过球面折射后在另一侧成像。已知：物体到球心的距离为 $o+r$ ，成像到球心的距离为 $i-r$ ，球面半径为 $r$ ，入射介质折射率为 $n$ ，出射介质折射率为 $n'$ ，各角度与距离如图所示。

如图， $M$ 为球面上的某点， $C$ 为球心， $Q$ 为物体点， $Q'$ 为像点。首先，三角形中有如下几何关系：

\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{p}{\sin\phi} = \frac{o+r}{\sin\theta} = \frac{r}{\sin u} &\frac{p'}{\sin\phi} = \frac{i-r}{\sin\theta'} = \frac{r}{\sin u'} \end{aligned} \end{cases}

其中： $p$ 和 $p'$ 分别是 $QM$ 和 $Q'M$ 的长度， $\theta$ 、 $\theta'$ 是入射和折射角， $u$ 、 $u'$ 是物体光线与球心法线的夹角，根据折射定律：

n\sin\theta = n'\sin\theta'

且有：

\theta - u = \theta' + u' = \phi

三角关系代入，得：

\left\{ \begin{aligned} &\frac{p}{o+r} = \frac{\sin\phi}{\sin\theta} \\ &\frac{p'}{i-r} = \frac{\sin\phi}{\sin\theta'} \end{aligned} \right. \implies \frac{p}{n(o+r)} = \frac{p'}{n'(i-r)}

利用余弦定理：

\left\{ \begin{aligned} &p^2 = (o + r)^2 + r^2 - 2r(o+r)\cos\phi \\ &p'^2 = (i - r)^2 + r^2 + 2r(i - r)\cos\phi \end{aligned} \right.

利用 $\cos\phi = 1 - 2\sin^2\frac{\phi}{2}$ ，化简得：

\left\{ \begin{aligned} &p^2 = o^2 + 4r(o+r)\sin^2\frac{\phi}{2} \\ &p'^2 = i^2 - 4r(i-r)\sin^2\frac{\phi}{2} \end{aligned} \right.

联立，将 $p^2$ 与 $p'^2$ 代入比值关系，有：

\frac{o^2}{n^2(o+r)^2} - \frac{i^2}{n'^2(i-r)^2} = -4r\sin^2\frac{\phi}{2} \left[ \frac{1}{n^2(o+r)^2} + \frac{1}{n'^2(i-r)^2} \right]

这说明，实际情况下，物点 $Q$ 并不能严格成像到 $Q'$ ，因为右边存在与 $\phi$ （偏离轴线的角度）相关的项，只有特殊情况下这个公式的右边为零，才能严格成像。

公式右边为零时：

-4r\sin^2\frac{\phi}{2} \left[ \frac{1}{n^2(o+r)^2} + \frac{1}{n'^2(i-r)^2} \right] = 0

即： $\sin^2\frac{\phi}{2} = 0$ ，只有当 $\phi = 0$ 时成立，即只有光线完全通过光轴时才成立（这不是一般物理成像，而是几何中心成像）。或者括号内为零：

\frac{1}{n^2(o+r)^2} + \frac{1}{n'^2(i-r)^2} = 0

这两个条件只在特定的 $o$ 与 $i$ 值下成立，对一个球面来说，只能找到一组 $Q$ 和 $Q'$ ，即只对应一组物点和像点，不是一般意义上的成像（称为“齐明点”）。

实际成像分析时，通常只考虑靠近光轴的光线（即 $\phi \approx 0$ ），此时： $\sin^2\frac{\phi}{2} \approx 0$ ， $h^2 \ll o^2, i^2, r^2$ ，其中 $h$ 是入射高度，在这种情况下，右边可以忽略原公式在近轴条件下变为：

\frac{o^2}{n^2(o+r)^2} = \frac{i^2}{n'^2(i-r)^2}

进一步化简：

\frac{n(o+r)}{o} = \frac{n'(i-r)}{i}

再整理得：

\frac{n'}{i} + \frac{n}{o} = \frac{n' - n}{r}

这是球面折射的傍轴成像公式。根据上面的公式，我们可以得到第一焦点（第一主焦点）当像距 $i \to \infty$ ，物点在焦点 $o = f$ ：

o = f = \frac{n}{n' - n} r

那么第二焦点（第二主焦点）为：当物距 $o \to \infty$ ，像点在焦点 $i = f'$ ：

i = f' = \frac{n'}{n' - n} r

同样可以推导出焦距转换公式：

\frac{f}{f'} = \frac{n}{n'}

以及近轴成像公式（焦点形式）：

\frac{f}{o} + \frac{f'}{i} = 1

这是球面折射（单面透镜）在近轴近似下的经典成像公式，也是实际光学设计中的基本公式。

NOTE
根据上面图示，做出符号约定：

位置关系符号说明
Q 在 A 左（实物） $o > 0$ 物距为正
Q 在 A 右（虚物） $o < 0$ 物距为负
Q’ 在 A 左（虚像） $i < 0$ 像距为负
Q’ 在 A 右（实像） $i > 0$ 像距为正
C 在 A 左（凹面） $r < 0$ 曲率半径为负
C 在 A 右（凸面） $r > 0$ 曲率半径为正
下面两图为例：

位置关系	符号	说明
Q 在 A 左（实物）	$o > 0$	物距为正
Q 在 A 右（虚物）	$o < 0$	物距为负
Q’ 在 A 左（虚像）	$i < 0$	像距为负
Q’ 在 A 右（实像）	$i > 0$	像距为正
C 在 A 左（凹面）	$r < 0$	曲率半径为负
C 在 A 右（凸面）	$r > 0$	曲率半径为正

2、球面反射成像#

$Q$ 在 A 左侧（实物）应当满足 $o > 0$ ； $Q'$ 在 A 左侧（虚像）应当满足 $i > 0$ 。曲率半径 $r$ ，若球心 C 在 A 左侧（凹面）， $r < 0$ ；若在右侧（凸面）， $r > 0$ 。图中， $Q'$ 在 A 的左侧， $i$ 为负，球心 C 在左， $r < 0$ 。根据折射公式：

n \sin \theta = n' \sin \theta'

如果 $\theta > 0$ （入射角为正），但 $\theta'$ 是反向角，几何上 $\theta' < 0$ ，所以 $n' \sin \theta'$ 实际为负值。由此在特殊情况下有 $n = -n'$ 的情形（仅在极端简化/对称分析时出现）。根据基本傍轴成像公式：

\frac{n'}{i} + \frac{n}{o} = \frac{n' - n}{-r}

带入折射率关系，得到：

\frac{-n}{i} + \frac{n}{o} = \frac{- 2n}{-r}

化简得：

\frac{1}{o} - \frac{1}{i} = -\frac{2}{r}

这是在凹面情况下的成像公式。

3、傍轴物点成像和横向放大率#

根据上图，在光学系统中，傍轴光线指的是距离光轴很近，且与光轴夹角很小的光线，其数学表达为：

y^2, \; y'^2 \ll o^2, \; i^2, \; r^2

其中 $y$ 是物点高度， $y'$ 是像点高度， $o$ 是物距， $i$ 是像距， $r$ 是曲面半径。若 $P$ 或 $P'$ 在光轴上方， $y$ 或 $y' > 0$ ，若 $P$ 或 $P'$ 在光轴下方， $y$ 或 $y' < 0$

横向放大率定义为像点与物点高度之比：

m = \frac{\text{Lateral Size of Image}}{\text{Lateral Size of Object}} = \frac{y'}{y}

对于折射（或透镜）：折射前： $y \approx o \cdot \theta$ ，折射后： $-y' \approx i \cdot \theta'$ ，故折射定律可以近似写作：

n \theta \approx n' \theta'

所以：

m = \frac{y'}{y} = -\frac{n i}{n' o}

对于反射，介质折射率不变， $n = n'$ ，所以公式简化为：

m = -\frac{i}{o}

所以可以作出如下总结：

$|m|>1$ ：像比物大
$|m|<1$ ：像比物小
$m<0$ ：像为倒像（上下颠倒）
$m>0$ ：像为正像（方向不变）

4、复合光学系统的成像（多透镜/多球面系统）#

复合光学系统通常包含多个折射面（如多透镜、多球面），每个面都可能有不同的介质折射率。如图：

物点 $P$ 通过三组曲面，最终在 $P'''$ 处成像。
各面折射率分别为： $n,\; n',\; n'',\; n'''$
各面前后物距、像距依次为： $o_1, i_1, o_2, i_2, o_3, i_3$
各曲面半径： $r_1, r_2, r_3$

对于每一个折射面（球面），应用折射公式：

第1面

\frac{n'}{i_1} + \frac{n}{o_1} = \frac{n'-n}{r_1}

第2面

\frac{n''}{i_2} + \frac{n'}{o_2} = \frac{n''-n'}{r_2}

第3面

\frac{n'''}{i_3} + \frac{n''}{o_3} = \frac{n'''-n''}{r_3}

对于每一面，也可写作透镜公式：

\frac{f_1'}{i_1} + \frac{f_1}{o_1} = 1 \\ \frac{f_2'}{i_2} + \frac{f_2}{o_2} = 1 \\ \frac{f_3'}{i_3} + \frac{f_3}{o_3} = 1

每一面对应的横向放大率为：

m_1 = -\frac{n i_1}{n' o_1} \\ m_2 = -\frac{n' i_2}{n'' o_2} \\ m_3 = -\frac{n'' i_3}{n''' o_3}

物点高度 $h$ 与视轴夹角 $u$ 的关系：

u \approx \frac{h}{QA_1} = \frac{h}{o_1}

经过第一折射面后的角度 $u'$ ：

-u' = \frac{h}{A_1 Q'} = \frac{h}{i_1}

所以：

\frac{u}{u'} = -\frac{i_1}{o_1}

如果将所有面连乘，总放大率为：

m = \frac{y'''}{y} = m_1 m_2 m_3 = \left(-\frac{n i_1}{n' o_1}\right) \left(-\frac{n' i_2}{n'' o_2}\right)\left(-\frac{n'' i_3}{n''' o_3}\right)

这里给出拉格朗日-亥姆霍兹不变量：

y n u = y' n' u' = y'' n'' u'' = \cdots

其中， $y, y', y''$ 分别为每一面上的物/像高度， $n, n', n''$ 为每一面对应的折射率， $u, u', u''$ 为每一面上光线与光轴夹角。这是在傍轴近似下，光学系统内的一个重要不变量，描述了光束在系统内的传递规律。

七、薄透镜成像#

1、焦距计算#

薄透镜是指厚度 $d$ 远小于焦距 $f$ 的透镜，可以将两球面的顶点 $A_1, A_2$ 近似为同一点（光心），从而简化成像计算。在上图中， $n$ 为透镜前介质折射率（通常取空气 $n \approx 1$ ）， $n_L$ 为透镜材料折射率 $n'$ 为透镜后介质折射率（通常也是空气）， $r_1$ 、 $r_2$ 为两球面半径， $o_1$ 、 $i_1$ 为第一球面前的物距与像距， $o_2$ 、 $i_2$ 为第二球面前的物距与像距， $o, i$ 为薄透镜近似下的物距、像距（从光心 $O$ 测量）。

对于球面 $\Sigma_1$ ：

\frac{n_L}{i_1} + \frac{n}{o_1} = \frac{n_L - n}{r_1}

对于球面 $\Sigma_2$ ：

\frac{n'}{i_2} + \frac{n_L}{o_2} = \frac{n' - n_L}{r_2}

每一面可定义主焦距（以前后介质为基准）：

f_1 = \frac{n}{n_L - n} r_1 \\ f_1' = \frac{n_L}{n_L - n} r_1 \\ f_2 = \frac{n_L}{n' - n_L} r_2 \\ f_2' = \frac{n'}{n' - n_L} r_2

由图中：

o \approx o_1, \quad i \approx i_2, \quad -o_2 \approx i_1

其中 $d$ 为厚度，当 $d \to 0$ 时， $A_1, A_2$ 合并为光心 $O$ ，即薄透镜近似。将两球面成像公式联立并消去中间像，得到合成公式，对第一面：

\frac{f_1'}{i_1} + \frac{f_1}{o_1} = 1

对第二面：

\frac{f_2'}{i_2} + \frac{f_2}{o_2} = 1

消去中间变量，得到：

\frac{f_1' f_2'}{i} + \frac{f_1 f_2}{o} = f_1' + f_2

当 $d \to 0$ ， $f_1' \approx f_2' \approx f'$ ， $f_1 \approx f_2 \approx f$ ，合并简化为：

\frac{f'}{i} + \frac{f}{o} = 1

其中， $f$ 为物方焦距， $f'$ 为像方焦距， $o$ 为物距（从光心算起） $i$ 为像距（从光心算起）。

2、磨镜者公式#

下面推导磨镜者公式，其描述了透镜的焦距与其材料折射率以及两面曲率半径的关系。根据上面推导的公式：

\frac{f_1' f_2'}{i} + \frac{f_1 f_2}{o} = f_1' + f_2

\frac{f'}{i} + \frac{f}{o} = 1

得到像方焦距 $f'$ 为：

f' = \frac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2}

将 $f_1', f_2'$ 代入得：

f' = \frac{ \dfrac{n_L}{n_L - n} r_1 \cdot \dfrac{n'}{n' - n_L} r_2 }{ \dfrac{n_L}{n_L - n} r_1 + \dfrac{n'}{n' - n_L} r_2 }

化简分子分母，得到：

f' = \frac{n' r_1 r_2}{ n_L r_2 (n_L - n) + n' r_1 (n' - n_L) }

进一步整理，常用形式为：

f' = \frac{n'}{ \dfrac{n_L - n}{n_L} \cdot \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{n' - n_L}{n_L} \cdot \dfrac{1}{r_2} }

类似地，物方焦距 $f$ ：

f = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2'}

代入并化简：

f = \frac{n n_L r_1 r_2}{ n_L r_2 (n_L - n) + n r_1 (n' - n_L) }

由于焦距间关系通常有

\frac{f'}{f} = \frac{n'}{n}

在空气中的薄透镜（ $n = n' = 1$ ）便满足

f = f' = \frac{1}{(n_L - 1)\left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)}

根据上面的推导，我们规定，如果 $f>0,f'>0$ ，则为凸透镜，如果 $f<0,f'<0$ ，则为凹透镜。

3、牛顿成像公式#

对于上图我们规定： $F,F'$ 为焦点，若 $Q$ 在 $F$ 的左侧，则 $x > 0$ ，若 $Q$ 在 $F$ 的右侧，则 $x < 0$ ，若 $Q'$ 在 $F'$ 的左侧，则 $x' < 0$ ，若 $Q'$ 在 $F'$ 的右侧，则 $x' > 0$ 。对于对称的凸透镜，若 $n=n',f=f'$ ，有：

o = f + x \\ i = f' + x'

带入公式：

\frac{1}{f + x} + \frac{1}{f' + x'} = \frac{1}{f}

经过整理，得到牛顿公式：

x x' = f^2 \qquad \text{(若 } f = f' \text{)} \\ x x' = f f'

4、横向放大倍数#

横向放大率 $m$ 描述物像的尺寸比例：

m = \frac{\text{像高}}{\text{物高}}

对于第一折射面 $\Sigma_1$ ，物距 $O_1 = o$ ，放大率 $m_1$ ，有：

m_1 = -\frac{n i_1}{n_L o_1}

对于第二折射面 $\Sigma_2$ ，物距 $-o_2 = i_1$ ，放大率 $m_2$ ，有：

m_2 = -\frac{n_L i_2}{n' o_2}

总横向放大率为两面的乘积：

m = m_1 m_2

代入上式：

m = \left(-\frac{n i_1}{n_L o_1}\right) \left(-\frac{n_L i_2}{n' o_2}\right) = \frac{n i_1 n_L i_2}{n_L o_1 n' o_2} = \frac{n i_1 i_2}{n' o_1 o_2}

利用 $o_1 = o$ , $i_2 = i$ , $-o_2 = i_1$ ，整理得：

m = \frac{n i_1 i}{n' o (-i_1)} = -\frac{n i}{n' o}=-\frac{fi}{f'o}

对于空气中薄透镜（ $n=n'=1$ ）：

m = -\frac{i}{o}

利用牛顿公式 $x x' = f f'$ ，可以进一步得到：

m = -\frac{f}{x} = -\frac{x'}{f'}

定义屈光度是焦距的倒数（以米为单位），可以用来去解决生活中的相关问题：

P = \frac{1}{f(m)}

几何光学

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作者

老官童鞋gogo

发布于

2025-12-08

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