一、函数的概念#

1. 设$X\subset\mathbb{R}$为实数集。如果对于任一元素$x\in X$ ,都存在唯一的$y\in\mathbb{R}$按照对应法则$f$与之对应，则称$f:X\to\mathbb{R}$为一元实值函数，或一元函数、函数，记为$y=f(x)$.

2. 函数$f$的定义域：$D(f)=X$ 函数$f$的值域：$R(f)=f(X)$ 函数$f$的图像：$G(f)=\{(x,y)|y=f(x),x\in X\}$

二、函数的构成/生成#

1. 四则运算：$f\pm g$、$fg$、$\frac fg$
2. 复合运算：$g\circ f:=g(f(x))$
3. 反函数运算：给定函数$y=f(x)$是实数集$A$与$B$之间的一一映射，如果对于任意的$y\in B$ ,都存在唯一的$x\in A$通过关系式$y=f(x)$与之对应 ,那么就称该对应为函数$y=f(x)$的反函数，记为$f^{-1}.$ $f(f^{-1}(y))=y,\quad\forall y\in B\quad f^{-1}(f(x))=x,\quad\forall x\in A$

三、函数的有界性#

1. 定义：设$f:I\rightarrow\mathbb{R}$.如果$f$的值域有上界，则称函数$f$在$l$上有上界；即存在常数$A$，使得对于任意的$x\in I$，有$f(x)\leq A$.如果$f$的值域有下界，则称函数$f$在 $l$上有下界；即存在常数$B$,使得对于任意的$x\in I$，有 $f(x)\geq B$.既有上界又有下界的函数称为有界函数。

2. $f$在$l$上有界的充要条件是$\exists M>0,\forall x\in I,|f(x)|\leq M$.

3. 如果$f$在$l$上不是有界函数，则称$f$在$I$上无界。$f$在$I$上无界等价于对于任意的$M$，都不是的一个界。$f$在$I$上无界的充要条件$\forall M>0,\exists x_0\in I,|f(x_0)|>M$.

例1 证明：函数$f(x)= \frac 1x\sin \frac 1x$在区间$(0,1]$上无界。

证明 $\forall M>0$，选取正整数$n_0>M$以及$x_0=\frac1{2n_0\pi+\frac\pi2}\in(0,1]$，于是有： $f(x_0)=(2n_0\pi+\frac\pi2)\sin(2n_0\pi+\frac\pi2)=2n_0\pi+\frac\pi2>M$

四、单调函数的基本性质#

1. 定义设$f:I\rightarrow\mathbb{R}$. 如果$\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2$，有 $f(x_1)(<)\leq f(x_2)$，则称$f$在$I$上(严格)单调递增。 如果$\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2$，有$f(x_1)(>)\geq f(x_2)$，则称$f$在$l$上(严格)单调递减。

2. 单调函数必存在反函数，且反函数的单调性与原函数相同。有限多个单调递增函数的和仍为单调函数。（四则运算）

3. 若递减函数$y=f(u)$定义在$D$上，$u=f(x)$在$I$上递增，则$y=f(g(x))$在$I$上递减。（同增异减）

例3 考虑函数$f(x)=\begin{cases}x&x\in[0,1]\cap\mathbb{Q}\\1-x&x\in[0,1]\setminus\mathbb{Q}\end{cases}$

结论 该函数的反函数就是本身,且在任意区间$I\in[0,1]$上都不是单调的。

五、函数的奇偶性和单调性#