(1) 两通电平行指导线的相互作用力#

两根平行导线分别携带电流 $i_1$ 和 $i_2$，相隔距离 $d$。导线间的相互作用力由电磁场产生。

根据毕奥-萨伐尔定律，第一根导线在第二根导线位置处产生的磁场为：

第二根导线受到第一根导线产生的磁场作用，其微元段 $\mathrm{d}s_2$ 受到磁力：

由于导线间的磁场与电流方向垂直，力的大小为：

将 $B_1$ 的表达式代入：

将导线的长度单位化，磁力每单位长度为：

(2) 矩形线圈受到的安培力矩#

一个矩形电流环处于均匀磁场 $\vec{B}$ 中，其电流 $i$ 通过导线流动。电流环受到磁场的作用力，并产生一个力矩使其趋向于与磁场方向对齐。线圈电流产生的磁场对另外导线的作用力仅沿着导线框所在的平面，不产生力矩。

矩形电流环边长为 $a$ 和 $b$，其四条边分别标记为 $AB, BC, CD, DA$。磁力由磁场对每段导线施加的洛伦兹力产生：

对于垂直于磁场的边 $AB$ 和 $CD$，电流方向与磁场方向垂直，因此磁力大小为：

力的方向根据右手定则，与纸面垂直（我感觉老师给的图中的$F_1,F_2$方向错误了，不应该与线圈平面垂直）。

对于平行于磁场的边 $BC$ 和 $DA$，其产生的磁力相互抵消：

磁力对矩形环的中心产生力矩 $\vec{\tau}$，其大小为：

对于边 $AB$ 的力矩，环中心到力作用线的垂直距离为 $\frac{b}{2}$，力矩大小为：

其中 $\theta$ 是磁场 $\vec{B}$ 与环平面法向量 $\vec{n}$ 的夹角。

总力矩为两边力矩的加和（根据对称性直接得出另一边的力矩）：

化简得：

矩形环的面积为：

定义电流环的磁矩：

其中 $\vec{n}$ 是环平面的法向量，力矩可以写为：

(3) 任意形状的线圈受到的安培力矩#

取沿着磁场方向取同一对称位置的微小线圈元，计算每一个微小电流源的受力：

其中：

则：

计算力矩：

积分得到：

若$\vec{n}\cap\vec{B}=\theta$，则$\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}$

(4) 磁偶极矩的能量#

当$\theta=90\degree$时，得到：

NOTE

与电偶极子能量的表达式：

$$U=-\vec{p}\cdot\vec{E}$$

相互比较