一、法拉第电磁感应引入#
当一块磁铁穿过闭合线圈时，电路中会产生电流。
定义磁通量，描述穿过某个表面的磁场流量的物理量，表达式为：
Φ=∬B⋅dA法拉第电磁感应定律是电磁学中的一条基本定律，主要用于描述磁场与电路之间的相互作用。该定律指出，当通过导体回路的磁通量发生变化时，会在回路中产生电动势。其数学表达式为：
E=−dtdΦ
二、楞次定律#
在法拉第电磁感应定律中，电动势的方向遵循右手定则：伸平右手使姆指与四指垂直，手心向着磁场的N极，姆指的方向与导体运动的方向一致，四指所指的方向即为导体中感应电流的方向（感应电动势的方向与感应电流的方向相同）。
当然也可以根据楞次定律：感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
三、电动势#
1、动生电动势#
上图中，导体棒在导轨上运动，并存在垂直于纸面的磁场，导体棒中的电子在磁场B中以速度v运动时，受力为：
f=−e(v×B)其中−e为电子电荷。由于洛伦兹力不是静电力，定义非静电力单位电荷的强度：
K=−ef=v×B运动过程中，沿回路对非静电力做功得到动生电动势：
ε=∫+K⋅dl=∫CD(v×B)⋅dl其中dl为沿回路的微元线段。假设导体棒以速度v向右运动，磁场垂直于纸面向里（如图所示），棒长为s：
-
设以DC为运动部分，其他为静止，则只有DC段有v=0。
-
取dl沿DC段方向（竖直向上），v向右，B向里。
-
则v×B指向上，与dl同向。
所以：
ε=∫CD(v×B)⋅dl=Blv其中l为棒的长度。
WARNING为什么洛伦兹力对电子不做功？为何又说动生电动势来源于洛伦兹力？洛伦兹力的定义为：
F=−e(ud+v)×B其中：
- ud：电子在导体中的漂移速度
- v：导体整体的速度（如红色棒向右运动）
- −e：电子电荷
- B：磁场
磁场力方向总是与速度垂直，理论上对单个电子不做功，因为功为F⋅dl，而F⊥dl。实际上，导体整体运动时，电子的总速度是ud+v，故洛伦兹力分为两部分：
(1) 运动部分（导体整体移动）产生的洛伦兹力
f1=−ev×B对电子做正功，推动电子沿着电路移动，形成电流，这部分就是动生电动势的来源。
(2) 漂移速度部分（电子本身漂移）
f2=−eud×B对电子做负功，实际和电流方向相关，抵消一部分能量。
两部分相等。可以被证明。
2、感生电动势#
感生电动势定义为：
ε=∮E⋅dl其中：
- E：感生电场
- dl：沿回路的微元线段
如图所示，存在一个垂直于纸面向里的均匀磁场B，且磁感应强度随时间变化（dtdB=const.）。在磁场中考虑一个以红色为边界的圆形回路。有圆环回路时，根据法拉第电磁感应定律：
ε=−dtdΦB其中，ΦB 为穿过回路的磁通量：
ΦB=∬SB⋅dA若B均匀垂直穿过面积A：
ΦB=B⋅A则感应电动势为：
ε=−dtd(BA)=−AdtdB根据电动势的环路积分定义：
ε=∮CE⋅dl结合上述两式得到：
∮CE⋅dl=−dtd∬SB⋅dA交换积分和求导顺序，即为法拉第电磁感应定律的积分形式：
∮CE⋅dl=−∬S∂t∂B⋅dA利用斯托克斯公式，得到：
∇×E=−∂t∂B3、空间中任意形状闭合路径的电动势#
空间中产生电势有两部分：静电荷产生的、电磁感应的。故：
E=Es+Ein积分得到电动势：
∮E⋅dl=∮(Esta+Eind)⋅dl=0+(−dtdΦB)=−dtdΦB