1、基本运算中的误差估计#

由微分学，当自变量的改变量（误差）很小时，函数的微分作为函数的改变量的主要线性部分可以近似函数的改变量，故可以利用微分运算公式导出误差运算公式。设数值计算中求得的解与参量$x_1,x_2,\cdots,x_n$有关，记为：

设不同参量的近似值为$x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*$，相应的解也会产生误差：

假设$f$在点$(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*)$处可微，则当参量误差很小时，根据：

解的绝对误差为：

其相对误差为：

根据上面两式，可以得到和差积商的误差公式：

这样，再根据三角不等式，可以得到：

2、算法的数值稳定性#

计算一个数学问题，求积分制：

注意到：

根据被积分式，知随着$n$增大，$x^n$递减，$I_n$递减且大于$0$，可以得到：

即：

可以设计两种算法：

1. 取$I_0=\int_0^1 \frac{1}{x+5}=\ln 1.2$按照递推公式以此计算出$I_1,I_2,\cdots$的近似值。
2. 取$I_n^*\approx \frac12[\frac{1}{6(n+1)}+\frac{1}{5(n+1)}]$，按照递推公式一次计算出$I_{n-1},I_{n-2},\cdots,I_0$的近似值。

使用方法一计算$I_0\sim I_{24}$，下面给出其MATLAB代码：（代码中的I(n)代表$I_{n-1}$）

1
format long
2
I = zeros(25,1);
3
I(1) = log(1.2);
4
for n = 1:24
5
    I(n+1) = 1/n - 5 * I(n);
6
end
7
I(1:25)

然后使用方法二计算，下面给出其MATLAB代码：

1
format long
2
I = zeros(25,1);
3
I(25) = (1 / (6 * 25) + 1 / (5 * 25)) / 2;
4
for n = 24:-1:1
5
    I(n) = (1 / n - I(n+1)) / 5;
6
end
7
I(1:25)

分别比较它们的输出结果：

两种方法在$n$值较小的时候，结果十分相近。但是按照方法一计算的结果，在$n=22,24$时，积分值已经小于$0$，显然是错误的，这是舍入误差在计算过程中的传播所引起的后果，设$I^*$有误差$e_0$，假设在计算过程中不产生新的舍入误差，则由递推公式，可以得知第$n$项的误差为：

即每递推一次，误差的绝对值就扩大五倍，上述计算过程中采用format long有16位有效数字，故：

那么在第$n=21$时，误差满足：

而$I_{21}=0.026\cdots$，已经没有任何一位有效数字。而第二种方法中，尽管$I_{24}$的取值精度不高，其误差限：

但是每一次递推，其误差的绝对值都在减小，到$I_0$时，满足：

上述事实说明，对于同一数学问题，使用的算法不同，效果也不同，我们称计算过程中舍入误差不增长的算法具有数值稳定性，否则数值就是不稳定的。例如上述问题中，方法一数值不稳定，方法二数值稳定，我们希望选择数值更加稳定的方法。

1、避免两个相近的数相减#

根据相对误差公式：

可知两数之差$u=x-y$的相对误差为：

当$x,y$非常接近时，$u$的相对误差很大，有效数字位数严重丢失，常常需要改变计算公式。下面是一些常用变换方法：

2、避免大数吃小数的情况#

计算机在进行运算过程中，首先要把参加运算的数字进行对阶，即把两数都写成绝对值小于$1$而阶码相同的数，例如$a=1000001$要改写为：

如果计算机只能表示四位小数，那么计算出来的只有$a=0.1\times 10^7$，大数部分把小数部分吃掉了。所以在连加过程中，先把较小的数字相加，然后再加大数，这样小数累加后的进位不会先被大数吃掉。

3、避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值#

根据公式：

当$|y|\ll|x|$时，舍入误差可能增大很多。

4、要简化运算、减少运算次数，提高效率#

对于计算$\ln 2$的数值，如果直接使用$\ln(1+x)$的麦克劳林级数展开，取前$n$项的和用来计算近似值，截断误差为$\frac{1}{n+1}$，如果要求误差小于$10^{-5}$，则$n\ge10^5$，要对前十万项求和，计算量很大，并且舍入误差积累使得有效数字丢失严重，如果使用级数：

来计算，取$x=\frac 13$，取级数的前五项即可满足要求。显然这种方法更有效。

对于计算多项式的值：

如果直接相加，那么需要做$\frac{n(n+1)}2$次乘法和$n$次加法，但是改为使用秦九韶算法：

则只需要进行$n$次加法和$n$次乘法。