Profile Image of the Author
老官童鞋gogo

公告
欢迎来到我的博客 / 笔记本！
标签
4594 字
23 分钟
电磁波
2025-12-04
物理
/
普通物理学
电磁学

一、电磁波的产生#

1、静止电荷#

当一个电荷静止时，它只在空间周围产生静电场 E⃗\vec{E}。在这个情况下，电场的能量密度为：

uE=12ε0E2u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2

其中，ε0\varepsilon_0 是真空介电常数，EE 是电场强度。此时，空间中没有变化的磁场，也没有能量或动量的传播，因此不会产生电磁波。

2、匀速运动的电荷#

当一个电荷以恒定速度运动时，它会产生恒定的磁场 B⃗\vec{B}。磁场的能量密度为：

uB=B22μ0u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}

其中，μ0\mu_0 是真空磁导率，BB 是磁场强度。在这种情况下，电场能量密度 uEu_E 和磁场能量密度 uBu_B 都随时间保持不变，不发生变化，没有能量和动量在空间中传输，也不会产生电磁辐射（即没有电磁波的发射）。

3、加速运动的电荷#

只有当电荷发生加速运动时（即速度随时间变化），如电流 i(t)i(t) 随时间变化，磁场 B⃗(t)\vec{B}(t) 也随时间变化，此时才会产生电磁辐射。加速的电荷会产生随时间变化的电场和磁场，这些变化的电场和磁场可以在空间中传播，形成电磁波。这种通过加速运动产生的电磁波，本质上是电场和磁场的相互作用和变化通过空间传播能量。

4、LCR电路#

LCR电路由电感（L）、电容（C）和电阻（R）串联组成。设电容上的电荷为 qq，应用基尔霍夫电压定律，电感的电压为Ld2qdt2L \frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} t^2}，电阻的电压为RdqdtR \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}，电容的电压为1Cq\frac{1}{C}q，则回路总电压为零，得到：

Ld2qdt2+Rdqdt+1Cq=0L \frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} t^2} + R \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{C} q = 0

这是一个二阶线性齐次微分方程。该方程的通解为：

q(t)=q0e−R2Ltcos⁡(ωt+φ)q(t) = q_0 e^{-\frac{R}{2L} t} \cos(\omega t + \varphi)

其中，q0q_0 是初始电荷，ω\omega 是振荡角频率，φ\varphi 是初相位。角频率和阻尼系数分别为：

ω=1LC−R24L2\omega = \sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2} }α=R2L\alpha = \frac{R}{2L}

其中当 RR 很小时，阻尼很弱，系统近似无阻尼振荡，角频率简化为：

ω≈1LC=ω0\omega \approx \sqrt{\frac{1}{LC}} = \omega_0

由于电阻的存在，能量会随着时间逐渐损耗。电荷的振荡会随时间指数衰减，qq 随时间呈现阻尼振荡，振幅逐渐减小，最终趋于零。

二、电磁波的传播#

当一个电偶极子（如天线中的两极）发生振荡时，它会产生电磁辐射。偶极子的振荡电流随时间变化，通常为谐振荡形式：

I(t)∝sin⁡(ωt)I(t) \propto \sin(\omega t)

这会导致偶极子周围的电场和磁场发生周期性变化，从而向外辐射电磁波。偶极子的辐射是线性极化的，即电场矢量的振动方向始终保持在一个固定的方向上——这个方向就是偶极子的轴向。例如，垂直偶极子的电场振动方向也是垂直的。这种极化方式在天线和无线电技术中非常常见。

偶极子的辐射强度在空间不同方向并不均匀，形成了特定的辐射方向图：

image-20251126104635133

三、电磁波的性质#

image-20251126105216344

在距离波源较远的自由空间（ρe0=0, j⃗0=0\rho_{e0} = 0, \ \vec{j}_0 = 0），电磁波具有以下性质：

1、横波性质#

电磁波是横波，即电场 E⃗\vec{E} 和磁场 H⃗\vec{H} 的振动方向都垂直于波的传播方向 k⃗\vec{k}：

E⃗⊥k⃗,H⃗⊥k⃗\vec{E} \perp \vec{k}, \quad \vec{H} \perp \vec{k}

电场、磁场和传播方向三者互相垂直，构成空间中的正交坐标系。

2、电场与磁场互相垂直#

在电磁波中，电场 E⃗\vec{E} 与磁场 H⃗\vec{H} 彼此总是垂直：

E⃗⊥H⃗\vec{E} \perp \vec{H}

3、电场与磁场同相#

电磁波中的电场和磁场变化同步，即同相：

E0, H0 are in phaseE_0, \ H_0 \text{ are in phase}

在空间中某一点，电场和磁场的最大值、最小值同时出现。

4、右手定则#

三者满足右手定则：用右手，拇指指向波的传播方向 k⃗\vec{k}，食指指向电场方向 E⃗\vec{E}，中指指向磁场方向 H⃗\vec{H}。即：

E⃗×H⃗=k⃗\vec{E} \times \vec{H} = \vec{k}

5、电磁波的传播速度#

电磁波在自由空间中的传播速度为：

v=1κeε0κmμ0 v = \frac{1}{\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0}}

其中κe\kappa_e 为介质的相对介电常数（自由空间为 1），κm\kappa_m 为介质的相对磁导率（自由空间为 1），ε0\varepsilon_0 为真空介电常数，μ0\mu_0 为真空磁导率

在真空或空气中：

κe=κm=1 \kappa_e = \kappa_m = 1v=c=1ε0μ0≈3×108 m/s v = c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} \approx 3 \times 10^8 \ \mathrm{m/s}

6、振幅关系#

磁场与电场的振幅存在以下关系：

κeε0E0=κmμ0H0\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0} E_0 = \sqrt{\kappa_m \mu_0} H_0

四、麦克斯韦方程组求解#

积分形式的麦克斯韦方程组：

{∫∫◯E⃗⋅dA⃗=q0ε0∫∫◯B⃗⋅dA⃗=0∮E⃗⋅dl⃗=−∫∫∂B⃗∂t⋅dA⃗∮H⃗⋅dl⃗=i0+∫∫∂D⃗∂t⋅dA⃗\left\{ \begin{aligned} {\int\kern{-8pt}\int \kern{-23mu} \bigcirc} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{A} &= \frac{q_0}{\varepsilon_0} \\ {\int\kern{-8pt}\int \kern{-23mu} \bigcirc} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{A} &= 0 \\ \oint \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} &= - {\int\kern{-8pt}\int} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{A} \\ \oint \vec{H} \cdot \mathrm{d}\vec{l} &= i_0 + {\int\kern{-8pt}\int} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{A} \end{aligned} \right.

自由空间下的麦克斯韦方程组（ρe0=0\rho_{e0}=0, j⃗0=0\vec{j}_0=0）没有自由电荷，没有电流：

{∇⋅E⃗=0∇×E⃗=−∂B⃗∂t=−κmμ0∂H⃗∂t∇⋅H⃗=0∇×H⃗=∂D⃗∂t=κeε0∂E⃗∂t\left\{ \begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} &= 0 \\ \nabla \times \vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{H} &= 0 \\ \nabla \times \vec{H} &= \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned} \right.

将第一个方程和第二个方程的电场写成分量形式，为：

{∂Ex∂x+∂Ey∂y+∂Ez∂z=0∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zExEyEz∣=−κmμ0(∂Hx∂ti⃗+∂Hy∂tj⃗+∂Hz∂tk⃗)\begin{cases} \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 \\ \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z \end{array} \right| = -\kappa_m \mu_0 \left( \frac{\partial H_x}{\partial t} \vec{i} + \frac{\partial H_y}{\partial t} \vec{j} + \frac{\partial H_z}{\partial t} \vec{k} \right) \end{cases}

将第一个方程和第二个方程的磁场写成分量形式，为：

{∂Hx∂x+∂Hy∂y+∂Hz∂z=0∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zHxHyHz∣=κeε0(∂Ex∂ti⃗+∂Ey∂tj⃗+∂Ez∂tk⃗)\begin{cases} \frac{\partial H_x}{\partial x} + \frac{\partial H_y}{\partial y} + \frac{\partial H_z}{\partial z} = 0 \\ \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ H_x & H_y & H_z \end{array} \right| = \kappa_e \varepsilon_0 \left( \frac{\partial E_x}{\partial t} \vec{i} + \frac{\partial E_y}{\partial t} \vec{j} + \frac{\partial E_z}{\partial t} \vec{k} \right) \end{cases}

平面波是指电磁波在空间传播时，在任意与传播方向垂直的平面上，其相位（φ\varphi）处处相等。即波面上所有点的相位一致。假设电磁波沿+z+z轴传播，波矢k⃗\vec{k}指向zz轴。为简化推导，电场E⃗\vec{E}和磁场H⃗\vec{H}仅依赖于zz和tt，与xx、yy无关（即E⃗\vec{E}、H⃗\vec{H}在整个波面上分布均匀）。如图，蓝色箭头表示电场（E⃗\vec{E}），沿xx方向。红色箭头表示磁场（H⃗\vec{H}），沿yy方向，黑色箭头表示传播方向（k⃗\vec{k}，沿zz轴），波面是垂直于k⃗\vec{k}的平面，在图中为黑色平面：

image-20251126111116456

平面波条件下的麦克斯韦方程分量表达式，包括：

  1. 电场的散度方程
∂Ex∂x+∂Ey∂y+∂Ez∂z=0\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0
  1. 电场的旋度方程（各分量）
∂Ez∂y−∂Ey∂z=−κmμ0∂Hx∂t∂Ex∂z−∂Ez∂x=−κmμ0∂Hy∂t∂Ey∂x−∂Ex∂y=−κmμ0∂Hz∂t\begin{aligned} \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} &= -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_x}{\partial t}\\ \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} &= -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_y}{\partial t}\\ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} &= -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t} \end{aligned}
  1. 磁场的散度方程
∂Hx∂x+∂Hy∂y+∂Hz∂z=0\frac{\partial H_x}{\partial x} + \frac{\partial H_y}{\partial y} + \frac{\partial H_z}{\partial z} = 0
  1. 磁场的旋度方程（各分量）
∂Hz∂y−∂Hy∂z=κeε0∂Ex∂t∂Hx∂z−∂Hz∂x=κeε0∂Ey∂t∂Hy∂x−∂Hx∂y=κeε0∂Ez∂t\begin{aligned} \frac{\partial H_z}{\partial y} - \frac{\partial H_y}{\partial z} &= \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t}\\ \frac{\partial H_x}{\partial z} - \frac{\partial H_z}{\partial x} &= \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t}\\ \frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y} &= \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial E_z}{\partial t} \end{aligned}

由于平面波假设E⃗\vec{E}和H⃗\vec{H}仅依赖于zz和tt，所以所有关于xx和yy的导数都为零：

∂∂x=0,∂∂y=0\frac{\partial}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial}{\partial y} = 0

上述各式可以进一步简化为只含zz和tt的偏导数。电场散度方程变为：

∂Ez∂z=0\frac{\partial E_z}{\partial z} = 0

磁场散度方程变为：

∂Hz∂z=0\frac{\partial H_z}{\partial z} = 0

同时，根据电场和磁场的旋度方程，还可以得到：

∂Hz∂t=0,∂Ez∂t=0\frac{\partial H_z}{\partial t}=0,\frac{\partial E_z}{\partial t}=0

说明Ez,HzE_z,H_z在zz方向上为常数，且不随时间变化，而通常可取Ez=0,Hz=0E_z=0,H_z=0，即电场和磁场在传播方向上没有分量。即：

E⃗⊥k⃗,H⃗⊥k⃗\vec{E}\perp\vec{k},\vec{H}\perp\vec{k}

电场旋度分量可以进行化简：

∂Ex∂z=−κmμ0∂Hy∂t\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_y}{\partial t}∂Ey∂z=κmμ0∂Hx∂t\frac{\partial E_y}{\partial z} = \kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_x}{\partial t}

磁场旋度分量化简为：

∂Hx∂z=κeε0∂Ey∂t\frac{\partial H_x}{\partial z} = \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t}∂Hy∂z=−κeε0∂Ex∂t\frac{\partial H_y}{\partial z} = -\kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t}

这里不妨设电场E⃗\vec{E}与xx轴平行，Ex≠0,Ey=0E_x\neq 0,E_y=0，那么可以得到：

∂Hx∂t=0\frac{\partial H_x}{\partial t}=0∂Hx∂z=0\frac{\partial H_x}{\partial z}=0

说明在这种假设情况下，HxH_x是常数，故磁场强度在xx轴方向上的分量零，故：

E⃗⊥H⃗\vec{E}\perp\vec{H}

将方程：

∂Ex∂z=−κmμ0∂Hy∂t\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_y}{\partial t}

两边对zz求导，得到：

∂2Ex∂z2=−κmμ0∂∂t⋅∂Hy∂z=κmμ0κeε0∂2Ex∂t2\frac{\partial^2E_x}{\partial z^2}=-\kappa_m\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\cdot\frac{\partial H_y}{\partial z}=\kappa_m\mu_0\kappa_e\varepsilon_0\frac{\partial^2E_x}{\partial t^2}

即：

∂2Ex∂z2−KeE0Kmμ0∂2Ex∂t2=0\frac{\partial^2E_x}{\partial z^2}-K_eE_0K_m\mu_0\frac{\partial^2E_x}{\partial t^2}=0

同理，对于磁场：

∂2Hy∂z2−Keε0Kmμ0∂2Hy∂t2=0\frac{\partial^2H_y}{\partial z^2}-K_e\varepsilon_0K_m\mu_0\frac{\partial^2H_y}{\partial t^2}=0

根据数学物理方法相关知识，解得波动方程的常规解：

{Ex=Ex0ei(ωt−kz)Hy=Hy0ei(ωt−kz)\left\{ \begin{aligned} E_x &= E_{x0} e^{i(\omega t - kz)} \\ H_y &= H_{y0} e^{i(\omega t - kz)} \end{aligned} \right.

这里，Ex0E_{x0}、Hy0H_{y0}为振幅，ω\omega为角频率（2π2\pi倍于频率ff），kk为波数，决定空间周期。将解带入波动方程，得到：

k2=κeε0κmμ0ω2k^2 = \kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0 \omega^2

即

k=κeε0κmμ0 ωk = \sqrt{\kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0} \ \omega

波相位为 ωt−kz=constant\omega t - kz = \text{constant}。对上式取全微分：

ωdt−kdz=0  ⟹  dzdt=ωk\omega \mathrm{d}t - k \mathrm{d}z = 0 \implies \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\omega}{k}

定义波速 vv：

v=dzdt=ωk=1κeε0κmμ0v = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0}}

对于真空，波速即：

v=c=1ε0μ0≈3×108  m/sv = c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} \approx 3 \times 10^8 \; \mathrm{m/s}

这就是光在真空中的速度。再次回到方程的常规解，取

{Ex=Ex0ei(ωt−kz)Hy=Hy0ei(ωt−kz)\left\{ \begin{aligned} E_x &= E_{x0} e^{i(\omega t - kz)} \\ H_y &= H_{y0} e^{i(\omega t - kz)} \end{aligned} \right.

方程右边分别对zz和tt求导：

∂∂zei(ωt−kz)=−ikei(ωt−kz)\frac{\partial}{\partial z} e^{i(\omega t - kz)} = -ik e^{i(\omega t - kz)}∂∂tei(ωt−kz)=iωei(ωt−kz)\frac{\partial}{\partial t} e^{i(\omega t - kz)} = i\omega e^{i(\omega t - kz)}

带入第一个方程：

∂Ex∂z=−ikEx0ei(ωt−kz)−κmμ0∂Hy∂t=−κmμ0iωHy0ei(ωt−kz)\frac{\partial E_x}{\partial z} = -ik E_{x0} e^{i(\omega t - kz)} \\ -\kappa_m \mu_0 \frac{\partial H_y}{\partial t} = -\kappa_m \mu_0 i \omega H_{y0} e^{i(\omega t - kz)}

所以

−ikEx0ei(ωt−kz)=−κmμ0iωHy0ei(ωt−kz)-ik E_{x0} e^{i(\omega t - kz)} = -\kappa_m \mu_0 i \omega H_{y0} e^{i(\omega t - kz)}

消去公因子，移项：

kEx0=κmμ0ωHy0k E_{x0} = \kappa_m \mu_0 \omega H_{y0}

联立波数与频率波速关系 k=ω/vk = \omega / v，得到：

Ex0=κmμ0vHy0E_{x0} = \kappa_m \mu_0 v H_{y0}

而波速 v=1κeε0κmμ0v = \frac{1}{\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0}}，所以：

Ex0=κmμ0⋅1κeε0κmμ0Hy0E_{x0} = \kappa_m \mu_0 \cdot \frac{1}{\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0}} H_{y0}

即：

Ex0=κmμ0κeε0κmμ0Hy0E_{x0} = \frac{\kappa_m \mu_0}{\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0 \kappa_m \mu_0}} H_{y0}

化简，得到：

κeε0Ex0=κmμ0Hy0\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0} E_{x0} = \sqrt{\kappa_m \mu_0} H_{y0}

由上面的解形式，ExE_x和HyH_y的相位相同（ei(ωt−kz)e^{i(\omega t - kz)}），即：

φE=φH\varphi_E = \varphi_H

更一般地，可以写成：

κeε0E0=κmμ0H0\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0} E_0 = \sqrt{\kappa_m \mu_0} H_0

如果考虑相位，则：

κeε0E0eiφE=κmμ0H0eiφH\sqrt{\kappa_e \varepsilon_0} E_0 e^{i\varphi_E} = \sqrt{\kappa_m \mu_0} H_0 e^{i\varphi_H}

在真空中，结果为：

ε0E0=μ0H0 \sqrt{\varepsilon_0} E_0 = \sqrt{\mu_0} H_0

进一步，E0=μ0H0/ε0μ0=cB0E_0 = \mu_0 H_0 / \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0} = c B_0

E0=cB0 E_0 = c B_0

或反过来，

B0=E0c B_0 = \frac{E_0}{c}

于是，我们通过了麦克斯韦方程组求得了所有的电磁波的性质。

五、电磁波的能量#

1. 电磁场的能量密度及总能量#

在空间 VV 内，电磁场的总能量 UU 是电场和磁场能量的总和，可以表达为：

U=∭(12ε0E2+12B2μ0)dvU = \iiint \left( \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} \right) \mathrm{d}v

其中，EE 是电场强度，BB 是磁感应强度，ε0\varepsilon_0 是真空介电常数，μ0\mu_0 是真空磁导率，dv\mathrm{d}v是体积分微元

在更一般的情况下，介质并非真空，需用电位移矢量 D⃗\vec{D} 和磁感应强度 B⃗\vec{B} 及磁场强度 H⃗\vec{H} 来表示能量：

U=UE+UB=∭(12D⃗⋅E⃗+12B⃗⋅H⃗)dvU = U_E + U_B = \iiint \left( \frac{1}{2} \vec{D} \cdot \vec{E} + \frac{1}{2} \vec{B} \cdot \vec{H} \right) \mathrm{d}v

其中，D⃗\vec{D} 是电位移矢量，E⃗\vec{E} 是电场强度，B⃗\vec{B} 是磁感应强度，H⃗\vec{H} 是磁场强度。在各向同性线性介质中，有如下关系：

D⃗=κeε0E⃗\vec{D} = \kappa_e \varepsilon_0 \vec{E}B⃗=κmμ0H⃗\vec{B} = \kappa_m \mu_0 \vec{H}

其中 κe,κm\kappa_e, \kappa_m 是相对介电常数和磁导率。

在非稳态（即电场 E⃗(t)\vec{E}(t)、磁场 H⃗(t)\vec{H}(t) 随时间变化）时，电磁场能量随时间变化电磁场的总能量为：

U=∭(12D⃗⋅E⃗+12B⃗⋅H⃗)dvU = \iiint \left( \frac{1}{2} \vec{D} \cdot \vec{E} + \frac{1}{2} \vec{B} \cdot \vec{H} \right) \mathrm{d}v

2、波印廷矢量与电磁波能量转换#

对时间求导，得到能量变化率：

dUdt=ddt∭(12D⃗⋅E⃗+12B⃗⋅H⃗)dv=12∭∂∂t(D⃗⋅E⃗+B⃗⋅H⃗)dv\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iiint \left( \frac{1}{2} \vec{D} \cdot \vec{E} + \frac{1}{2} \vec{B} \cdot \vec{H} \right) \mathrm{d}v\\&= \frac{1}{2} \iiint \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{D} \cdot \vec{E} + \vec{B} \cdot \vec{H} \right) \mathrm{d}v\end{aligned}

对 D⃗⋅E⃗+B⃗⋅H⃗\vec{D} \cdot \vec{E} + \vec{B} \cdot \vec{H} 求时间导数，若 D⃗=κeε0E⃗\vec{D} = \kappa_e \varepsilon_0 \vec{E}，B⃗=κmμ0H⃗\vec{B} = \kappa_m \mu_0 \vec{H}，则：

∂∂t(D⃗⋅E⃗+B⃗⋅H⃗)=κeε0∂∂t(E⃗⋅E⃗)+κmμ0∂∂t(H⃗⋅H⃗)=2κeε0E⃗⋅∂E⃗∂t+2κmμ0H⃗⋅∂H⃗∂t\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial t} (\vec{D} \cdot \vec{E} + \vec{B} \cdot \vec{H}) &= \kappa_e \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\vec{E} \cdot \vec{E}) + \kappa_m \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\vec{H} \cdot \vec{H})\\&= 2 \kappa_e \varepsilon_0 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + 2 \kappa_m \mu_0 \vec{H} \cdot \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}\end{aligned}

一般写为：

=2E⃗⋅∂D⃗∂t+2H⃗⋅∂B⃗∂t= 2 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + 2 \vec{H} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

麦克斯韦方程组给出：

∂D⃗∂t=∇×H⃗−j⃗0\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = \nabla \times \vec{H} - \vec{j}_0∂B⃗∂t=−∇×E⃗\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\nabla \times \vec{E}

带入能量变化率公式：

dUdt=∭(E⃗⋅(∇×H⃗−j⃗0)+H⃗⋅(−∇×E⃗))dv=∭[E⃗⋅(∇×H⃗)−H⃗⋅(∇×E⃗)−j⃗0⋅E⃗]dv\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}&= \iiint \left( \vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{H} - \vec{j}_0) + \vec{H} \cdot (-\nabla \times \vec{E}) \right) \mathrm{d}v\\&= \iiint [\vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{H}) - \vec{H} \cdot (\nabla \times \vec{E}) - \vec{j}_0 \cdot \vec{E}] \mathrm{d}v\end{aligned}

根据矢量恒等式：

E⃗⋅(∇×H⃗)−H⃗⋅(∇×E⃗)=∇⋅(E⃗×H⃗)\vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{H}) - \vec{H} \cdot (\nabla \times \vec{E}) = \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H})

所以：

dUdt=∭[∇⋅(E⃗×H⃗)−j⃗0⋅E⃗]dv\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = \iiint \left[ \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) - \vec{j}_0 \cdot \vec{E} \right] \mathrm{d}v

将体积分换成闭合曲面积分（高斯定理）：

∭∇⋅(E⃗×H⃗)dv=∫∫◯(E⃗×H⃗)⋅dA⃗\iiint \nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) \mathrm{d}v = {\int\kern{-8pt}\int \kern{-23mu} \bigcirc} (\vec{E} \times \vec{H}) \cdot \mathrm{d}\vec{A}

最终能量变化率表达为：

dUdt=∫∫◯(E⃗×H⃗)⋅dA⃗−∭(j⃗0⋅E⃗)dv\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = {\int\kern{-8pt}\int \kern{-23mu} \bigcirc} (\vec{E} \times \vec{H}) \cdot \mathrm{d}\vec{A} - \iiint (\vec{j}_0 \cdot \vec{E}) \mathrm{d}v

第一项中的S⃗=E⃗×H⃗\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}为波印廷矢量，S⃗\vec{S} 的方向表示电磁能量流动的方向，即电磁能量在空间中传播的方向。S⃗\vec{S} 的模表示单位面积单位时间通过某点的电磁能量（即能量通量密度，单位：W/m2\mathrm{W}/\mathrm{m}^2）。其中第二项 ∭(j⃗0⋅E⃗)dv\iiint (\vec{j}_0 \cdot \vec{E}) \mathrm{d}v​ 表示电流在电场中做的功（单位时间内），即能量的“消耗”或转化。欧姆定律的一般形式：

j⃗0=σ(E⃗+K⃗)\vec{j}_0 = \sigma (\vec{E} + \vec{K})

其中：j⃗0\vec{j}_0为自由电流密度，σ\sigma为电导率，E⃗\vec{E}为电场强度，K⃗\vec{K}为非电场驱动力（如化学或源极化场，代表电源的作用）由此可得：

E⃗=1σj⃗0−K⃗\vec{E} = \frac{1}{\sigma} \vec{j}_0 - \vec{K}

或

E⃗=ρj⃗0−K⃗\vec{E} = \rho \vec{j}_0 - \vec{K}

其中 ρ=1/σ\rho = 1/\sigma 为电阻率。

image-20251201102239432

假设电流通过一个横截面积为 ΔA\Delta A、长度为 Δl\Delta l 的导体（如图红色部分），体积为 ΔA⋅Δl\Delta A \cdot \Delta l，则：

∭(j⃗0⋅E⃗)dv=(j⃗0⋅E⃗)ΔA⋅Δl\iiint (\vec{j}_0 \cdot \vec{E}) \mathrm{d}v = (\vec{j}_0 \cdot \vec{E}) \Delta A \cdot \Delta l

带入上一节表达式：

=j⃗0⋅(ρj⃗0−K⃗)ΔA⋅Δl=ρj02ΔA⋅Δl−j⃗0⋅K⃗ΔA⋅Δl= \vec{j}_0 \cdot (\rho \vec{j}_0 - \vec{K}) \Delta A \cdot \Delta l = \rho j_0^2 \Delta A \cdot \Delta l - \vec{j}_0 \cdot \vec{K} \Delta A \cdot \Delta l

进一步整理：

=ΔlΔA(j0ΔA)2−(j0ΔA)(K⃗⋅Δl⃗)= \frac{\Delta l}{\Delta A} (j_0 \Delta A)^2 - (j_0 \Delta A) (\vec{K} \cdot \Delta \vec{l})

其中 (j0ΔA)(j_0 \Delta A) 就是总电流 i0i_0，所以：

=Ri02−i0Δε= R i_0^2 - i_0 \Delta \varepsilon

RR 是导体的电阻，Δε\Delta \varepsilon 是电源的电动势。第一项 Ri02R i_0^2：单位时间内由于电阻导致的焦耳热损耗（欧姆热），第二项 i0Δεi_0 \Delta \varepsilon：电源在单位时间内对电流所做的功（提供的能量）因此：

∭(j⃗0⋅E⃗)dv=Q−P\iiint (\vec{j}_0 \cdot \vec{E}) \mathrm{d}v = Q - P

QQ表示单位时间内的焦耳热（能量损耗），PP表示单位时间内电源所做的功（能量输入）。

3、真空波阻抗#

电磁波的能量传播方向由坡印廷矢量 S⃗\vec{S} 给出：

S⃗=E⃗×H⃗\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}

对于自由空间（真空）：

H⃗=B⃗μ0\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0}

因此：

S⃗=E⃗×H⃗=E⃗×B⃗μ0\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} = \vec{E} \times \frac{\vec{B}}{\mu_0}

对于平面波（电场与磁场正交且大小恒定），电场和磁场的振幅分别为 EE 和 BB，则：

S=EBμ0S = \frac{E B}{\mu_0}

又因电磁波中 E=cBE = c B，且 c=1μ0ϵ0c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}，故：

S=E(E/c)μ0=E2μ0cS = \frac{E (E/c)}{\mu_0} = \frac{E^2}{\mu_0 c}

定义真空波阻抗 Z0Z_0：

Z0=μ0c=377 ΩZ_0 = \mu_0 c = 377\,\Omega

则坡印廷矢量的大小可以简化为：

S=E2Z0=E2377 ΩS = \frac{E^2}{Z_0} = \frac{E^2}{377\,\Omega}

4、电磁波强度#

强度 II 是坡印廷矢量的时间与空间平均值：

I=⟨S⟩=⟨E2⟩Z0I = \langle S \rangle = \frac{\langle E^2 \rangle}{Z_0}

对于简谐（正弦）波，电场可写为 E=Emax⁡sin⁡(kz−ωt)E = E_{\max} \sin(kz - \omega t)，所以：

⟨E2⟩=Emax⁡2⟨sin⁡2(kz−ωt)⟩=Emax⁡22\langle E^2 \rangle = E_{\max}^2 \langle \sin^2(kz - \omega t) \rangle = \frac{E_{\max}^2}{2}

故

I=Emax⁡22Z0=12Emax⁡2377 ΩI = \frac{E_{\max}^2}{2 Z_0} = \frac{1}{2} \frac{E_{\max}^2}{377\,\Omega}

单位为 W/m2\mathrm{W}/\mathrm{m}^2。

5、电磁波能量密度#

电场的能量密度为：

uE=12εE2u_E=\frac{1}{2}\varepsilon E^2

磁场的能量密度：

ub=12Bμ0u_b=\frac{1}{2}\frac{B}{\mu_0}

结合B=EcB=\frac{E}{c}，则每一时刻的能量密度：

u=uE+uB=ε0E2u=u_E+u_B=\varepsilon_0 E^2

通常规定能量密度为上式的平均值，即：

⟨u⟩=ε0Emax⁡22=ε0Erms2\langle u\rangle=\frac{\varepsilon_0E_{\max}^2}{2}=\varepsilon_0E_{\mathrm{rms}}^2

其中ErmsE_{\mathrm{rms}}为EE的均方根，大小为Emax⁡2\frac{E_{\max}}{\sqrt2}。那么电磁波强度为：

I=Erms2Z0I=\frac{E^2_{\mathrm{rms}}}{Z_0}

六、直流回路中的电磁波能量#

虽然坡印廷矢量 S⃗=E⃗×H⃗\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} 最早用于分析电磁波能量流，但它同样适用于静态（稳恒）场，比如直流电路。

image-20251201104030158

通常我们认为，电流沿导线内部流动，能量“跟着电流走”，从电源流向负载（电阻）。但电磁场理论告诉我们，能量其实是通过导线外部的电磁场，以坡印廷矢量的方向流动，从电源传输到电阻。具体来看，在导线附近，E⃗\vec{E} 沿导线方向，H⃗\vec{H}环绕导线（如右手定则），S⃗\vec{S} 则指向导线内部（从空间进入导线）。沿整个回路，能量从电源附近空间流出，沿着导线外部空间，到达电阻附近，再流入电阻内部，被消耗。

image-20251201104232863

七、电磁波的动量#

电磁波传播时，除了能量流（坡印廷矢量 S⃗\vec{S}），还会将线性动量传递给遇到的物体。例如电磁波照射金属板时，会对其施加压力和力。

image-20251201105217331

如图j⃗0=σE⃗\vec{j}_0 = \sigma \vec{E} 表示金属板表面感应电流密度，f⃗L=−ev⃗×B⃗=−μ0ev⃗×H⃗\vec{f}_L = -e \vec{v} \times \vec{B} = -\mu_0 e \vec{v} \times \vec{H} 表示洛伦兹力，电磁波使电子受力，从而金属板整体受到力。设 ΔA\Delta A 为金属板面积，Δt\Delta t 时间内入射和反射的坡印廷矢量分别为 S⃗in\vec{S}_{in} 和 S⃗ref\vec{S}_{ref}。电磁波携带的动量流为 S⃗/c\vec{S}/c。所以，金属板所受的总冲量为：

ΔF⃗⋅cΔt=(S⃗in−S⃗ref)ΔA⋅Δt\Delta \vec{F} \cdot c \Delta t = (\vec{S}_{in} - \vec{S}_{ref}) \Delta A \cdot \Delta t

即：

ΔF⃗=1c(S⃗in−S⃗ref)ΔA\Delta \vec{F} = \frac{1}{c} (\vec{S}_{in} - \vec{S}_{ref}) \Delta A

其中，ΔF⃗\Delta \vec{F}表示单位时间内表面受到的力变化（光压力）。辐射压力定义为单位面积上的平均力：

P=∣ΔF⃗∣ΔA=1c(∣S⃗in∣+∣S⃗ref∣)P = \frac{|\Delta \vec{F}|}{\Delta A} = \frac{1}{c} (|\vec{S}_{in}| + |\vec{S}_{ref}|)

如果完全吸收，则S⃗ref=0\vec{S}_{ref} = 0，P=∣S⃗in∣cP = \frac{|\vec{S}_{in}|}{c}；如果完全反射，S⃗ref=∣S⃗in∣\vec{S}_{ref} = |\vec{S}_{in}|，则：P=2∣S⃗in∣cP = \frac{2|\vec{S}_{in}|}{c}。

板获得的动量变化为：

ΔG⃗P=ΔF⃗⋅Δt=1c(S⃗in−S⃗out)ΔA⋅Δt\Delta \vec{G}_P = \Delta \vec{F} \cdot \Delta t = \frac{1}{c} (\vec{S}_{in} - \vec{S}_{out}) \Delta A \cdot \Delta t

ΔG⃗P\Delta \vec{G}_P表示金属板的动量变化量（电磁波损失的动量）。电磁波失去的动量（即板获得的动量）：

ΔG⃗=−ΔG⃗P=−ΔF⃗⋅Δt=1c(S⃗out−S⃗in)ΔA⋅Δt\Delta \vec{G} = -\Delta \vec{G}_P = -\Delta \vec{F} \cdot \Delta t = \frac{1}{c} (\vec{S}_{out} - \vec{S}_{in}) \Delta A \cdot \Delta t

电磁波在 Δt\Delta t 内覆盖的空间体积：

ΔV=ΔA⋅cΔt\Delta V = \Delta A \cdot c \Delta t

入射波动量密度：

g⃗in=S⃗inc2\vec{g}_{in} = \frac{\vec{S}_{in}}{c^2}

反射波动量密度：

g⃗out=S⃗outc2\vec{g}_{out} = \frac{\vec{S}_{out}}{c^2}

动量密度的变化：

Δg⃗=ΔG⃗ΔV=1c(S⃗out−S⃗in)ΔA⋅ΔtΔA⋅cΔt\Delta \vec{g} = \frac{\Delta \vec{G}}{\Delta V} = \frac{1}{c} (\vec{S}_{out} - \vec{S}_{in}) \frac{\Delta A \cdot \Delta t}{\Delta A \cdot c \Delta t}

简化得：

Δg⃗=1c2(S⃗out−S⃗in)\Delta \vec{g} = \frac{1}{c^2} (\vec{S}_{out} - \vec{S}_{in})

于是得到电磁场的动量密度（任意时刻）：

g⃗=1c2S⃗=1c2(E⃗×H⃗)\vec{g} = \frac{1}{c^2} \vec{S} = \frac{1}{c^2} (\vec{E} \times \vec{H})
分享

如果这篇文章对你有帮助，欢迎分享给更多人！

电磁波
https://www.laoguantx.cn/posts/electromagneticwaves/
作者
老官童鞋gogo
发布于
2025-12-04
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0

部分信息可能已经过时

动力学综合问题
动能定理
© 2026 老官童鞋gogo. All Rights Reserved. / RSS / Atom / Sitemap
Powered by Astro & Mizuki  Version 7.6.5
封面
Sample Song
Sample Artist
封面
Sample Song
Sample Artist
0:00 / 0:00