一、电偶极子#
考虑两个等量异号的点电荷 +Q 和 −Q，分别位于 (0,−a) 和 (0,a)，即沿 y 轴对称分布。定义电偶极矩为
p=2Qa方向为负电荷指向正电荷，大小为电荷与距离的乘积
1、电偶极子在(x,0)上产生的电场#
由对称性，Ex=0，只需要计算Ey：
Ey=−24πε01r2Qsinθ其中：
sinθ=ra,r2=x2+a2所以：
Ey=−24πε01(x2+a2)3/2Qa2、电偶极子在(0,y)上产生的电场#
在y轴上，Ex=0，只需要计算Ey：
Ey=4πε0Q[(y−a)21−(y+a)21]化简得：
Ey=4πε0Q(y2−a2)24ay3、电偶极子在电场中的受力分析#
上图为电偶极子在均匀电场中的受力分析。很明显，电偶极子收到一个力矩作用，首先写出电偶极矩矢量：
p=qd分析受力特点，整体受力为0，合力矩为：
τ=F2dsinθ+F2dsinθ=Fdsinθ=qEdsinθ=pesinθ
即：
τ=p×E以电偶极子的中点为参考点，计算电场对电偶极子做的功：
W=∫dw=∫θ0θτ⋅dθ=−∫θ0θpEsinθdθ=pE(cosθ−cosθ0)
二、连续电荷分布产生的电场#
1、无限长带电直线在某一点产生的的电场#
根据上图演示，计算dx在该点产生的电场dE：
dE=4πε01r2dq其中dq和r′为:
dq=λdxr′=cosθr代入得：
dE=4πε01r2λcos2θdx其中dx与θ并不是独立的，存在下面关系：
xdx=rtanθ=rsec2θdθ所以：
dE=4πε01rλdθ将dE向两个方向分解：
dEx=−4πε01rλdθsinθdEy=+4πε01rλdθcosθ积分得：
Ex=∫dEx=−∫−π/2+π/24πε01rλdθsinθ=0Ey=∫dEy=∫−π/2+π/24πε01rλdθcosθ=2πε0rλ经过上面的推导，得出结论：无限长带电直线对某一点产生的电场，随着该点到直线的距离成反比例减小。
2、均匀带电圆环在圆心轴上某点产生的电场#
计算dq对该点产生的电场dE：
dq=λdsdE=4πε0r2λds=4πε0(z2+R2)λds由对称性得：
Ex=Ey=0,Ez=0计算E在竖直方向的分量：
dEz===dEcosθ4πε0(z2+R2)λds⋅(z2+R2)1/2z4πε0(z2+R2)3/2zλds积分得：
E=∫dEz=∫4πε0(z2+R2)3/2zλds=4πε0(z2+R2)3/2zq在两种特殊的情况下：
z>>Rz→0E=4πε0z3zq=4πε0z2qE=03、均匀带电圆盘在圆心轴上某点产生的电场#
计算单位面积上带有的电荷dq：
dq=2πωdωσ将均匀带电圆盘看作是无数个圆环叠加：
dE=4πε0(z2+ω2)3/2zdq=4πε0(z2+ω2)3/2z2πσωdω积分得：
E=∫dE=2ε0σz∫0R(z2+ω2)3/2ωdω=4ε0σz∫0R(z2+ω2)3/2d(z2+ω2)=2ε0σ(1−1+z2R21)当圆盘无限大时：
R>>z1+z2R21→0E=2ε0σ当点离圆盘足够远时，可以将圆盘近似看成点电荷：
1+z2R21=E=z>>R1−21z2R2+83z4R4−⋯2ε0σ(21z2R2−83z4R4+⋯)≈2ε0σ21z2R2=4πε0z2q